где
- действительные числа, а- специальный символ, который называетсямнимой единицей . Для мнимой единицы по определению считается, что
.

(4.1) – алгебраическая форма комплексного числа, причем
называетсядействительной частью комплексного числа, а
-мнимой частью .

Число
называетсякомплексно сопряженным к числу
.

Пусть даны два комплексных числа
,
.

1. Суммой
комплексных чиселиназывается комплексное число

2. Разностью
комплексных чиселиназывается комплексное число

3. Произведением
комплексных чиселиназывается комплексное число

4. Частным от деления комплексного числана комплексное число
называется комплексное число

.

Замечание 4.1. То есть операции над комплексными числами вводятся по обычным правилам арифметических операций над буквенными выражениями в алгебре.

Пример 4.1. Даны комплексные числа . Найти

.

Решение. 1) .

4) Домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число, получаем

Тригонометрическая форма комплексного числа:

где
- модуль комплексного числа,
- аргумент комплексного числа. Уголопределен неоднозначно, с точностью до слагаемого
:

,
.

- главное значение аргумента, определяемое условием

, (или
).

Показательная форма комплексного числа:

.

Корень
й степени числа имеет различных значений, которые находятся по формуле

,

где
.

Точки, соответствующие значениям
, являются вершинами правильного
угольника, вписанного в окружность радиуса
с центром в начале координат.

Пример 4.2. Найти все значения корня
.

Решение. Представим комплексное число
в тригонометрической форме:

,

, откуда
.

Тогда
. Следовательно, по формуле (4.2)
имеет четыре значения:

,
.

Полагая
, находим

,
,

, .

Здесь мы преобразовывали значения аргумента к его главному значению.

Множества на комплексной плоскости

Комплексное число
изображается на плоскости
точкой
с координатами
. Модуль
и аргумент
соответствуют полярным координатам точки
.

Полезно помнить, что неравенство
задает круг с центром в точкерадиуса. Неравенство
задает полуплоскость, расположенную правее прямой
, а неравенство
- полуплоскость, расположенную выше прямой
. Кроме того, система неравенств
задает угол между лучами
и
, выходящими из начала координат.

Пример 4.3. Нарисовать область, заданную неравенствами:
.

Решение. Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке
и двумя радиусами 1 и 2, окружности в область не входят (рис. 4.1).

Второму неравенству соответствует угол между лучами
(биссектриса 4 координатного угла) и
(положительное направление оси
). Сами лучи в область не входят (рис. 4.2).

Искомая область является пересечением двух полученных областей (рис. 4.3)

4.2. Функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция
определена и непрерывна в области
, а- кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая ориентированная кривая, лежащая в
. Пусть, как обычно,
,, где
,
- действительные функции переменныхи.

Вычисление интеграла от функции
комплексного переменногосводится к вычислению обычных криволинейных интегралов, а именно

.

Если функция
аналитична в односвязной области
, содержащей точкии, то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

,

где
- какая-либо первообразная для функции
, то есть
в области
.

В интегралах от функций комплексного переменного можно производить замену переменной, и интегрирование по частям аналогично тому, как это делается при вычислении интегралов от функций действительного переменного.

Заметим также, что если путь интегрирования является частью прямой, выходящей из точки , или частью окружности с центром в точке, то полезно делать замену переменной вида
. В первом случае
, а- действительная переменная интегрирования; во втором случае
, а- действительная переменная интегрирования.

Пример 4.4. Вычислить
по параболе
от точки
до точки
(рис 4.4).

Решение. Перепишем подынтегральную функцию в виде Тогда , . Применим формулу (4.3): Так как , то , . Поэтому

Пример 4.5. Вычислить интеграл
, где- дуга окружности
,
(рис. 4.5) .

Решение. Положим, , тогда , , . Получаем:

Функция
, однозначная и аналитическая в кольце
, разлагается в этом кольце вряд Лорана

В формуле (4.5) ряд
называетсяглавной частью ряда Лорана, а ряд
называетсяправильной частью ряда Лорана.

Определение 4.1. Точка называется изолированной особой точкой функции
, если существует окрестность этой точки, в которой функция
аналитична всюду, кроме самой точки.

Функцию
в окрестности точки можно разложить в ряд Лорана. При этом возможны три различных случая, когда ряд Лорана:

1) не содержит членов с отрицательными степенями разности
, то есть

(ряд Лорана не содержит главной части). В этом случае называется устранимой особой точкой функции
;

2) содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности
, то есть

,

причем
. В этом случае точка называется полюсом порядка функции
;

3) содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями:

.

В этом случае точка называется существенно особой точкой функции
.

При определении характера изолированной особой точки не обязательно искать разложение в ряд Лорана. Можно использовать различные свойства изолированных особых точек.

1) является устранимой особой точкой функции
, если существует конечный предел функции
в точке:

.

2) является полюсом функции
, если

.

3) является существенно особой точкой функции
, если при
функция не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного.

Определение 4.2. Точка называется нулем
го порядка (или кратности ) функции
, если выполняются условия:

…,

.

Замечание 4.2. Точка тогда и только тогда является нулем
го порядка функции
, когда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство

,

где функция
аналитична в точкеи

4) точка является полюсом порядка (
) функции
, если эта точка является нулем порядкадля функции
.

5) пусть - изолированная особая точка функции
, где
- функции аналитические в точке . И пусть точка является нулем порядка функции
и нулем порядкафункции
.

При
точка является полюсом порядка
функции
.

При
точка является устранимой особой точкой функции
.

Пример 4.6. Найти изолированные точки и определить их тип для функции
.

Решение. Функции
и
- аналитические во всей комплексной плоскости. Значит, особыми точками функции
являются нули знаменателя, то есть точки, где
. Таких точек бесконечно много. Во-первых, это точка
, а также точки, удовлетворяющие уравнению
. Отсюда
и
.

Рассмотрим точку
. В этой точке получим:

,
,

,
.

Порядок нуля равен
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Значит, точка
является полюсом второго порядка (
).

. Тогда

,
.

Порядок нуля числителя равен
.

,
,
.

Порядок нуля знаменателя равен
. Следовательно, точки
при
являются полюсами первого порядка (простыми полюсами ).

Теорема 4.1. (Теорема Коши о вычетах ). Если функция
является аналитической на границеобласти
и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек
, то

.

При вычислении интегралов стоит аккуратно найти все особые точки функции
, затем нарисовать контур и особые точки, и после этого выбрать только те точки, которые попали внутрь контура интегрирования. Сделать правильный выбор без рисунка часто бывает затруднительно.

Способ вычисления вычета
зависит от типа особой точки. Поэтому, прежде чем вычислять вычет, нужно определить тип особой точки.

1) вычет функции в точке равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении
в окрестности точки:

.

Это утверждение справедливо для всех типов изолированных точек, и поэтому в данном случае определять тип особой точки не обязательно.

2) вычет в устранимой особой точке равен нулю.

3) если - простой полюс (полюс первого порядка), а функцию
можно представить в виде
, где
,
(заметим, что в этом случае
), тогда вычет в точкеравен

.

В частности, если
, то
.

4) если - простой полюс, то

5) если - полюс
го порядка функции
, то

Пример 4.7. Вычислить интеграл
.

Решение. Находим особые точки подынтегральной функции . Функция имеет две особые точки и Внутрь контура попадает только точка (рис. 4.6). Точка - полюс второго порядка, так как является нулем кратности 2 для функции .

Тогда по формуле (4.7) находим вычет в этой точке:

В силу теоремы 4.1 находим

Функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексной переменной.

Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу . Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка . Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…

Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше!

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной , то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Пример 1

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Пример 2

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана :

Только в этом случае будет существовать производная!

Пример 3

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:

– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

2) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной?

Производную можно найти по формуле:

В данном случае:

Таким образом

Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:

Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно

Зеркальная формула для нахождения производной:

В данном случае: , поэтому:

Пример 4

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку.

Усложним наши функции:

Пример 5

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:

Определим действительную и мнимую части данной функции:

Внимание и еще раз внимание!

Так как , то:


Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Проверка второго условия:

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:

Вычислим значение производной в требуемой точке:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:

Пример 6

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .

Решение и образец чистового оформления в конце урока.

В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.

Сначала о так называемых формулах Эйлера :

Для любого действительного числа справедливы следующие формулы:

Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.

Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:

Пример 7

Найти производную.

Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:

Поскольку , то:

(1) Подставляем вместо «зет».

(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.

(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.

(4) Используем школьное действие со степенями.

(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .

(6) Раскрываем скобки, в результате:

– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:

Пример 9

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.

Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:

Поскольку , то:

1) Подставляем вместо «зет».

(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса . В этих целях раскрываем скобки.

(3) Используем формулу , при этом .

(4) Используем чётность гиперболического косинуса : и нечётность гиперболического синуса : . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.

В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.

С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:

Пример 10

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.

Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…

Пример 11

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции.
Если , то

Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?

Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение , он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников . Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :

Федеральное агентство по образованию

___________________________________

Санкт-Петербургский государственный

Электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

Теория функций комплексной переменной

Методические указания

к практическим занятиям

по высшей математике

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

УДК 512.64(07)

ТФКП: Методические указания к решению задач / сост.: В.Г.Дюмин, А.М.Коточигов, Н.Н.Сосновский.СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010. 32с.

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010

Функции комплексного переменного ,, в общем случае отличаются от отображений вещественной плоскости
в себятолько формой записи. Важным и чрезвычайно полезным объектом оказывается класс функции комплексного переменного,

имеющих производную такую же, как и функции одной переменной. Известно, что функции нескольких переменных могут иметь частные производные и производные по направлению, но, как правило, производные по разным направлениям не совпадают, и говорить о производной в точке не возможно. Однако для функций комплексной переменной удается описать условия, при которых они допускают дифференцирование. Изучение свойств дифференцируемых функций комплексного переменного составляет содержании методических указаний. Указания ориентированны на демонстрацию того, как свойства таких функций могут быть использованы для решения разнообразных задач. Успешное освоение, излагаемого материала невозможно без элементарных навыков вычислений с комплексными числами и знакомства с простейшими геометрическими объектами, определяемыми в терминах неравенств, связывающих вещественную и мнимую часть комплексного числа, а так же его модуль и аргумент. Краткое изложение всех необходимых для этого сведений можно найти в методических указаниях .

Стандартный аппарат математического анализа: пределы, производные, интегралы, ряды широко используется в тексте методических указаний. Там, где эти понятия имеют свою специфику, по сравнению с функциями одной переменной, приведены соответствующие пояснения, но в большинстве случаев достаточно разделить вещественную и мнимую часть и применить к ним стандартный аппарат вещественного анализа.

1. Элементарные функции комплексного переменного

Обсуждение условий дифференцируемости функций комплексного переменного, естественно начать с выяснения того, какие элементарные функции обладают этим свойством. Из очевидного соотношения

Вытекает дифференцируемость любого многочлена. И, поскольку, степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри круга его сходимости,

то любая функция дифференцируема в точках, в окрестности которых ее можно разложить в ряд Тейлора. Это достаточное условие, но, как вскоре выясниться, оно является и необходимым. Исследование функций одной переменной по производной удобно поддерживать, контролируя поведение графика функции. Для функций комплексного переменного такой возможности нет. Точки графика лежат в пространстве размерности 4, .

Тем не менее, некоторое графическое представление о функции можно получить, рассматривая образы достаточно простых множеств комплексной плоскости
, возникающие под воздействием заданной функции. Для примера, рассмотрим, с этой точки зрения несколько простых функций.

Линейная функция

Эта простая функции очень важна, тек как любая дифференцируемая функция локально похожа на линейную. Рассмотрим действие функции с максимальной подробностью

здесь
-- модуль комплексного числаи-- его аргумент. Таким образом, линейная функция осуществляет растяжение, поворот и сдвиг. Следовательно, линейное отображение переводит любое множество в подобное множество. В частности, под воздействием линейного отображения прямые переходят в прямые, а окружности в окружности.

Функция

Эта функция -- следующая по сложности за линейной. Трудно ожидать, что она переведет любую прямую в прямую, а окружность в окружность, простые примеры показывают, что этого не происходит, тем не менее, можно показать, что эта функция переводит множество всех прямых и окружностей в себя. Чтобы убедится в этом, удобно перейти к вещественному (координатному) описанию отображения

Для доказательства потребуется описание обратного отображения

Рассмотрим уравнение если
, то получится общее уравнение прямой. Если
, то

Следовательно, при
получается уравнение произвольной окружности.

Отметим, что если
и
, то окружность проходит через начало координат. Если же
и
, то получится прямая, проходящая через начало координат.

Под действие инверсии рассматриваемое уравнение перепишется в виде

, (
)

или . Видно, что это тоже уравнение, описывающие либо окружности, либо прямые. То, что в уравнении коэффициентыи
поменялись местами, означает, что при инверсии прямые, проходящие через 0, перейдут в окружности, а окружности, проходящие через 0, перейдут в прямые.

Степенные функции

Главное отличие этих функцией от рассмотренных ранее состоит в том, что они не являются взаимно однозначными (
). Можно сказать, что функция
переводит комплексную плоскость в два экземпляра той же плоскости. Аккуратное рассмотрение этой темы требует использования громоздкого аппарата римановых поверхностей и выходит за рамки рассматриваемых здесь вопросов. Важно понимать, что комплексную плоскость можно разделить на секторы, каждый из которых взаимно однозначно отображается на комплексную плоскость. Это разбиение для функции
выглядит так,Например, верхняя полуплоскость взаимно однозначно отображается на комплексную плоскость функцией
. Искажения геометрии для таких изображений описать сложнее, чем в случае инверсии. В качестве упражнения можно проследить, во что переходит сетка прямоугольных координат верхней полуплоскости при отображении

Видно, что сетка прямоугольных координат переходит в семейство парабол, образующих систему криволинейных координат в плоскости
. Описанное выше разбиение плоскости таково, что функция
отображает каждый изсекторов на всю плоскость. Описание прямого и обратного отображения выглядит так

Таким образом, функция
имеетразличных обратных функций,

заданных в различных секторах плоскости

В таких случаях говорят, что отображение многолистно.

Функция Жуковского

Функция имеет собственное названия, поскольку она составила основу теории крыла летательного аппарата, созданную Жуковским (описание этой конструкции можно найти в книге ). Функция обладает рядом интересных свойств, остановимся на одном из них – выясним, на каких множествах эта функция действует взаимнооднозначно. Рассмотрим равенство

, откуда
.

Следовательно, функция Жуковского взаимнооднозначна в любой области, в которой для любых иих произведение не равно единице. Таковыми являются, например, открытый единичный круг
и дополнение замкнутого единичного круга
.

Рассмотрим действие функции Жуковского на окружности , тогда

Разделяя вещественную и мнимую части, получим параметрическое уравнение эллипса

,
.

Если
, то эти эллипсы заполняют всю плоскость. Аналогично проверяется, что образами отрезковявляются гиперболы

.

Показательная функция

Функция допускает разложение в степенной ряд, абсолютно сходящийся во всей комплексной плоскости, следовательно, она всюду дифференцируема. Опишем множества, на которых функция взаимнооднозначна. Очевидное равенство
показывает, что плоскость можно разбить на семейство полос, каждую из которых функция взаимнооднозначно отображает на всю комплексную плоскость. Это разбиение существенно для того, что бы понять, как устроена обратная функция, точнее обратные функции. На каждой из полос естественным образом определено обратное отображение

Обратная функция и в этом случае многолистна, причем количество обратных функций бесконечно.

Геометрическое описание отображения довольно простое: прямые
переходят в лучи
, отрезки

переходят в окружности
.