При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток
I 0 =ξ/R
(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).
В момент времени t= 0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξ s =-LdI/dt, препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξ s /R, или
IR=-LdI/dt. (127.1)
Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I =-(R/L)dt. Интегрируя
это уравнение по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I 0)=-Rt/L, или
где t=L/R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции
ξ s =-LdI/dt, препятствующая, согласно
правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR=ξ+ξ s , или
IR =ξ-LdI/dt .
Введя новую переменную u=IR-ξ, преобразуем это уравнение к виду du/u=-dt/t,
где 1 - время релаксации.
В момент замыкания (t=0) сила тока I =0 и u=-ξ. Следовательно, интегрируя по и (от -ξ до IR - ξ) и t (от 0 до t).
находим ln(IR -ξ)/-ξ=-t/t, или
где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t®¥)
Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I =0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 =ξ/R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t=L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.
Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξ s , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 =ξ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I 0 и t, получим
Э.д.с. самоиндукции
т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R 0 >> 1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.
По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям тока в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.
Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от индуктивностью L и сопротивлением R включен источник тока э.д.с. (рис. 65.1).
В цепи будет течь постоянный ток
(сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет э. д. с. самоиндукции, противодействующая этому убыванию. Сила тока в цепи будет удовлетворять уравнению
Уравнение (65.2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Разделив переменные, получим
(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ). Потенцирование этого соотношения дает
(65.3)
Выражение (65.3) является общим решением уравнения (65.2). Значение найдем из начальных условий. При сила тока имела значение (65.1). Следовательно,
Подставив это значение в (65.3), придем к выражению
Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (65.4). График убывания дан на рис. 65.2 (кривая ).
Скорость убывания определяется имеющей размерность времени величиной
которую называют постоянной времени цепи. Заменив в (65.4) через получим
В соответствии с этой формулой есть время, в течение которого сила тока уменьшается в раз. Из (65.5) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R, тем больше постоянная времени и тем медленнее спадает ток в цепи.
Для упрощения расчетов мы считали, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктивностью, возникающее высокое индуцированное напряжение создает искру или дугу в месте разрыва.
Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения источника э. д. с., до тех пор пока сила тока не достигнет установившегося значения (65.1), в цепи кроме э. д. с. будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома
Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению, которое отличается от уравнения (65.2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения (см. § 52 1-го тома). Общее решение однородного уравнения имеет вид (65.3). Легко убедиться в том, что является частным решением уравнения (65.7).
Следовательно, общим решением уравнения (65.7) будет функция
В начальный момент сила тока I равна нулю. Отсюда Таким образом,
Эта функция описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с. График функции (65.8) дан на рис. 65.2 (кривая 2).
Опр. Индукционные токи, возникающие в массивных проводинах при их движении в магнитном поле или под влиянием переменного магнитного поля, называются вихревыми токами или токами Фуко.
Сила вихревого тока удовлетворяет соотношению , где потокосцепление замкнутого контура вихревого тока. электрическое сопротивление цепи этого тока. Сопротивление тем меньше, чем больше удельная проводимость материала проводника и чем больше его размеры. В массивных проводниках мало и вихревые токи могут достигать большой силы даже в не очень быстро меняющихся магнитных полях.
В соответствии с правилом Ленца токи Фуко выбирают внутри проводника такие пути и направления, чтобы своим действием возможно сильнее противиться причине, которая их вызывает.
Вихревые токи вызывают сильное нагревание проводников. Поэтому в индукционных печах, служащих для плавки металлов при помощи вихревых токов, магнитное поле создается переменным током высокой частоты. Печь - катушка, питаемая высокочастотным током большой силы. Если поместить внутрь катушки проводящее тело, то в нем возникнут интенсивные вихревые токи, кот могут разогреть тело до плавления. Таким способом осуществляют плавление металла в вакууме, что позволяет получать материалы исключительно высокой частоты.
В электрических машинах и трансформаторах вихревые токи приводят к значительным потерям энергии. Ввиду этого магнитные цепи электрических машин и сердечники трансформаторов делают не сплошными, а собирают из отдельных тонких листов железа, изолированных друг от друга специальным лаком или окалиной. Вихревые токи образуются в плоскостях, перпендикулярных линиям магнитной индукции (тока «охватывают» линии индукции). Поэтому плоскости пластин, из которых собирают магнитные цепи, следует располагать параллельно линиям магнитной индукции.
Токи Фуко используются в индукционных печах, при вакуумной плавке, для получения тепла в различных нагревательных устройствах.
На заводе Электросталь есть вакуумные индукционные печи (от 30 кг до тонны), в институте 150 кг
Токи Фуко, возникающие в проводах, по которым текут переменные токи, направлены так, что ослабляют ток внутри провода и усиливают вблизи поверхности. При прохождении по проводнику быстропеременных токов они вытесняются на поверхность проводника, а внутри проводника ток практически отсутствует. Это явление называют скин-эффектом (от английскогоskin-кожа) или поверхностным эффектом . В таких случаях проводники можно делать полыми. Этот эффект можно использовать для термической закалки проводников и отжига поверхностных дефектов.
2. Явление самоиндукции . При изменении магнитного поля тока, идущего по проводнику, э.д.с. индукции возникает не только в соседних проводниках, но и в нем самом, поскольку этот проводник находится в том же магнитном поле. Возникновение э.д.с. в каком – либо проводнике при изменении силы тока в нем же самом наз. самоиндукцией , а ток, индуцируемый в этом проводнике – током самоиндукции . Вследствие самоиндукции при замыкании цепи сила тока не сразу достигает своего установившегося значения, а через некоторый промежуток времени; при размыкании цепи э.д.с. исчезает не сразу, вследствие чего в месте размыкания появляется искра, а если есть другой замкнутый контур, то в нем продолжает идти слабый ток.
Магнитный поток, создаваемый током в контуре с индуктивностью : . Индуктивность зависит от геометрических свойств (формы и размеров) контура и магнитных свойств (магнитной проницаемости) окружающей среды. Единицы индуктивности: генри .
1Гн – индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1А равен 1Вб. 1Гн=1Вб/А=1В*с/А.
Потокосцепление пропорционально силе тока, протекающего по контуру: .Линейная зависимость от наблюдается только в том случае, если среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля , т.е. в отсутствие ферромагнетиков. Иначе зависит от и зависимостьот будет сложной. В этом случае , но индуктивность считается функцией от .
Электродвижущая сила самоиндукции
. в замкнутом контуре
(контур не деформируется и не меняется) при изменении силы тока в нем, пропорциональна скорости изменения силы тока со временем: , где индуктивность (коэффициент самоиндукции) контура. Знак минус показывает, что наличие индуктивности в контуре приводи к замедлению тока в нем.
Индуктивность соленоида (тороида) , где число витков контура, длина, объем.
Индуктивность бесконечно длинного соленоида : при протекании по соленоиду тока внутри соленоида возбуждается однородное поле, индукция которого . Поток через каждый из витков равен , а полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом , где длина соленоида, которая предполагается очень большой, площадь поперечного сечения, число витков на единицу длины, - полное число витков. Т.к. или , где объем соленоида. В общем случае индуктивность контура зависит только от геометрической формы контура, его размеров и . Магнитная проницаемость соленоида (тороида) зависит от . Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости от , а затем формулой . Индуктивность – аналог электрической емкости уединенного проводника.
При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи (направлены противоположно току, создаваемому источником). При выключении источника тока экстратоки имеют то же направление, сто и ослабевающий ток – наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока цепи.
Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением и индуктивностью
· после замыкания цепи: , где э.д.с. источника тока, время, прошедшее после замыкания цепи. Величина постоянная, называемая временем релаксации.
· после размыкания цепи:, где значение силы тока в цепи при , время, прошедшее с момента размыкания цепи.
3. 
Взаимная индукция.
Изменение магнитного потока может достигаться также изменением тока в соседнем контуре (явление взаимной индукции
). Возьмем два контура 1 и 2, расположенные близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток силой , он создает через контур 2 пропорциональный полный магнитный поток . При изменении тока в контуре 2 индуцируется э.д.с. , где индуктивность (коэффициент самоиндукции) контура. Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силы возникает сцепленный с контуром 1 поток и . Контуры 1 и 2 наз. связанными
. В отсутствии ферромагнетиков . Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей среды.
По правилу Ленца, дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменению тока в цепи.
Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.
Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь, индуктивностью L и сопротивлением R включить источник тока и переключить и переключатель находится в положении 2. Тогда в цепи будет течь ток .
В момент времени t=0 отключают источник тока(переключают в положение 1). Как только сила тока начнет убывать, возникающая ε i , противодействующая этому убыванию 
.По второму правилу Кирхгофа: .
– мы получили однородное ДУ-1. Разделяя переменные получим: ,
, c – const
можно найти из начальных условий. При t=0 →
.
, →
.
Частное решение: 
,
,
Рассмотрим случай замыкания цепи из 1 в 2. После подключения источника тока до тех пор, пока сила тока не достигнет установленного значения: в цепи кроме ε возникает также ,
,
. Мы получили неоднородное ДУ-1. Решением неоднородного уравнения является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения соответствующего неоднородного уравнения: . Легко видеть, что частным решением является , константу находим из начальных условий при t=0, I=0.
,
,
.
31.Энергия магнитного поля. Плотность энергии.
Проводник по которому протекает электрический ток всегда определяет магнитное поле
Причём магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением электрического тока. Следовательно часть энергии тока идёт на создание магнитного поля, который подобно электричеству является носителем энергии. Энергия магнитного поля равна работе,который затрачивается током не создающим магнитного поля
Рассмотрим контур с током индуктивность которого L,с данным контуром сцепляется магнитный поток
Причём при изменении тока на dI приводит к изменению магнитного потока
Для изменения магнитного потока на величину dФ необходимо совершить работу
Тогда работа будет равна
Выразим энергию магнитного поля через характеристику магнитного поля
;
;
;
;
Энергия сосредоточенная в единице объёма (объёмная плотность энергии магнитного поля)
;
Гармонические колебания и их характеристики. Дифференц. уравнение гармонических колебаний
При разнообразных видах движения наблюдающихся в природе наблюдаются такие, которые повторяются через определенный промежуток времени они называются периодическими, а промежуток времени через который повторяются называются периодом.
Колебательное движение относится к периодическим. Физическая природа колебаний может быть различна, по этому различают колебания механические, электромагнитные и т.д. Однако, различные колебательные процессы описывают одинаковые характеристики и одинаковые уравнения. Отсюда след. целесообразие единого подхода к изучению колебаний различных физических природы.
Колебания бывают: свободные (колебания, которые происходят в отсутствии переменных внешних воздействий и возникающих вследствие начала уравнений этой системы в равновесии), вынужденные (колебания возникшие в какой-либо системе под влиянием переменных внешних воздействий), алкоколебание (Колебания возникают в источнике за счет источника введенного в эту систему)
Простейшим типом явл. гармонические колебания-колебания при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону cos,sin :
S -колебательная величина, А-амплитуда колеб., -фаза колеб.в момент времени t ,
α o =0 -начальная фаза колебаний,w o -циклическая(угловая)частота.
;
За время равному периоду фаза получает приращение 2π , поэтому можно записать:
l
Иногда гармонические колебания изобр. графическим методом вращением вектора амплитуды или методом вектора диаграмм.
Т.е. гармонические колебания – проекция на некоторой произвольно выбранную ось амплитуды А отлож. от произвольной точки под углом α o и вращающ. с угловой скоростью w 0 вокруг этой точки.
При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток
I 0 =ξ/R
(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).
В момент времени t= 0отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξ s =-LdI/dt, препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξ s /R, или
IR=-LdI/dt. (127.1)
Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I =-(R/L)dt. Интегрируя
это уравнение по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I 0)=-Rt/L, или
где t=L/R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции
ξ s =-LdI/dt, препятствующая, согласно
правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR=ξ+ξ s , или
IR =ξ-LdI/dt .
Введя новую переменную u=IR-ξ, преобразуем это уравнение к виду du/u=-dt/t,
где 1 - время релаксации.
В момент замыкания (t=0) сила тока I =0 и u=-ξ. Следовательно, интегрируя по и (от -ξ до IR - ξ) и t (от 0 до t).
находим ln(IR -ξ)/-ξ=-t/t, или
где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t®¥)
Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I =0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 =ξ/R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t=L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.
Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξ s , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 =ξ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I 0 и t, получим
Э.д.с. самоиндукции
т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R 0 >> 1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.
Взаимная индукция
Рассмотрим два неподвижных контура (1 к 2), расположенных достаточно близко друг от друга (рис. 184). Если в контуре 1 течет ток I 1 , то магнитный поток, создаваемый этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными линиями), пропорционален I 1 . Обоз-
начим через Ф 2 1 ту часть потока, которая пронизывает контур 2. Тогда
Ф 21 =L 21 /I 1 , (128.1)
где L 21 - коэффициент пропорциональности.
Если ток I 1 изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. ξ i2 , которая по закону Фарадея (см. (123.2)) равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 2 1 , созданного током в первом контуре и пронизывающего второй:
Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I 2 магнитный поток (его поле изображено на рис. 184 штриховой линией) пронизывает первый контур. Если Ф 12 - часть этого потока, пронизывающего контур 1 , то
Ф 12 =L 12 I 2 .
Если ток I 2 изменяется, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. ξ i1 , которая равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 1 2 , созданного током во втором контуре и пронизывающего первый:
Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L 21 и L 12 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что l 21 и L 12 равны друг другу, т. е.
L I2 = L 2I . (128.2)
Коэффициенты L 12 и L 21 зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности,- генри (Гн).
Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 185). Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой с числом витков N 1 , током I 1 и магнитной проницаемостью m, сердечника, согласно (119.2),
B=m 0 mN 1 I 1 /l, где l - длина сердечника
по средней линии. Магнитный поток через один виток второй катушки Ф 2 =BS=m 0 m(N 1 I 1 /l )S Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содержащую N2 витков,
Поток yсоздается током I 1 , поэтому, согласно (128.1), получаем
Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой 2 сквозь катушку 1 , то для L 12 получим выражение в соответствии с формулой (128.3). Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник,
Трансформаторы
Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Впервые трансформаторы были сконструированы и введены в практику русским электротехником П. Н. Яблочковым (1847-1894) и русским физиком И. Ф. Усагиным (1855-1919). Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 186.
Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно n 1 и N 2 витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Так как концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения с э.д.с. ξ 1 , то в ней возникает переменный ток I 1 , создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в железном сердечнике и, следовательно, почти целиком пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление э.д.с. взаимной индукции, а в первичной - э.д.с. самоиндукции.
Ток I 1 первичной обмотки определяется согласно закону Ома:
где R 1 - сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I 1 R 1 на сопротивлении R 1 при быстропеременных полях мало по сравнению с каждой из двух э.д.с., поэтому
Э.д.с. взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,
Сравнивая выражения (129.1) и (129.2), получим, что э.д.с. , возникающая во вторичной обмотке,
где знак минус показывает, что э.д.с. в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе.
Отношение числа витков N 2 /N 1 , показывающее, во сколько раз э.д.с. во вторичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, называется коэффициентом трансформации.
Пренебрегая потерями энергии, которые в современных трансформаторах не превышают 2 % и связаны в основном с выделением в обмотках джоулевой теплоты и появлением вихревых токов, и применяя закон сохранения энергии, можем записать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практически одинаковы:
ξ 2 I 2 »ξ 1 I 1 , откуда, учитывая соотношение (129.3), найдем
ξ 2 /ξ 1 =I 1 /I 2 = N 2 /N 1 ,
т. е. токи в обмотках обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках.
Если N 2 /N 1 >1, то имеем дело с повышающим трансформатором, увеличивающим переменную э.д.с. и понижающим ток (применяются, например, для передачи электроэнергии на большие расстояния, так как в данном случае потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квадрату силы тока, снижаются); если N 2 /N 1 <1, то имеем дело с понижающим трансформатором, уменьшающим э.д.с. и повышающим ток (применяются, например, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении).
Мы рассматривали трансформаторы, имеющие только две обмотки. Однако
трансформаторы, используемые в радиоустройствах, имеют 4-5 обмоток, обладающих разными рабочими напряжениями. Трансформатор, состоящий из одной обмотки, называется автотрансформатором. В случае повышающего автотрансформатора э.д.с. подводится к части обмотки, а вторичная э.д.с. снимается со всей обмотки. В понижающем автотрансформаторе напряжение сети подается на всю обмотку, а вторичная э.д.с. снимается с части обмотки.
Энергия магнитного поля
Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.
Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I . С данным контуром сцеплен магнитный поток (см. (126.1)) Ф=LI , причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ=L dI . Однако для изменения магнитного потока на величину dФ (см. § 121) необходимо совершить работу dA =I dФ=LI dI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,
W=LI 2 /2. (130.1)
Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.
Энергию магнитного поля можно пред-
ставить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай - однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (130.1) выражение (126.2), получим
Так как I=Вl/ (m 0 mN) (см. (119.2)) и В=m 0 mH (см. (109.3)), то
где Sl =V - объем соленоида.
Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (см. (130.2)) заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью
Выражение (130.3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (95.8) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т. е. оно относится только к пара- и диамагнетикам (см. § 132).
Контрольные вопросы
В чем заключается явление электромагнитной индукции? Проанализируйте опыты Фарадея.
Что является причиной возникновения э.д.с. индукции в замкнутом проводящем контуре? Отчего и как зависит э.д.с. индукции, возникающая в контуре?
Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый проводник
в виде катушки, а не в виде одного витка провода?
Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.
Всегда ли при изменении потока магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникает э.д.с. индукции? индукционный ток?
Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в однородном магнитном поле?
Покажите, что закон Фарадея есть следствие закона сохранения энергии.
Какова природа э.д.с. электромагнитной индукции?
Выведите выражение для э.д.с. индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле. За счет чего ее можно увеличить?
Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?
Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?
В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции? Вычислите э.д.с. индукции
для обоих случаев,
В чем заключается физический смысл времени релаксации t=L/R Докажите, что оно имеет
размерность времени.
Приведите соотношение между токами в первичной и вторичной обмотках повышающего трансформатора.
Когда э.д.с. самоиндукции больше - при замыкании или размыкании цепи постоянного тока?
Какая физическая величина выражается в генри? Дайте определение генри.
В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивности двух контуров? От чего они зависят?
Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электростатического и магнитного полей. Чему равна объемная плотность энергии электромагнитного поля?
Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плотность энергии магнитного поля?
Задачи
15.1. Кольцо из алюминиевого провода (r=26 нОм м) помещено в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм. Определить скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А.
15.2. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, равномерно с частотой 300 мин -1 вращается катушка, содержащая 200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь поперечного сечения катушки 100 см 2 . Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определить максимальную э.д.с., индуцируемую в катушке. .
15.3. Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром 0,3 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГн.
15.4. Определить, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,98 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 0,4 Гн.
15.5. Два соленоида (индуктивность одного L 1 =0,36 Гн, второго L 2 = 0,64 Гн) одинаковой длины и практически равного сечения вставлены один в другой. Определить взаимную индуктивность соленоидов.
15.6. Автотрансформатор, понижающий напряжение с U 1 =5,5 кВ до U 2 =220 В, содержит в первичной обмотке N 1 = 1500витков. Сопротивление вторичной обмотки R 2 =2 Ом. Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R =13 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определить число витков во вторичной обмотке трансформатора.
