Рассмотрим интегралы с корнем от дробно-линейной функции:
(1)
,
где R
- рациональная функция своих аргументов. То есть функция, составленная из входящих в нее аргументов и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения (вычитания), умножения и деления (возведения в целочисленную степень).
Приведем примеры интегралов с корнями вида (1) .
Хотя здесь под знаком интеграла входят корни различных степеней, но подынтегральное выражение можно преобразовать следующим образом:
;
;
.
Таким образом, подынтегральное выражение составлено из переменной интегрирования x
и корня от линейной функции с помощью конечного числа операций вычитания, деления и умножения. Поэтому оно является рациональной функцией от x
и и принадлежит рассматриваемому типу (1)
со значениями постоянных n = 6
,
α = β = δ = 1
,
γ = 0
:
.
Здесь мы выполняем преобразование:
.
Отсюда видно, что подынтегральное выражение является рациональной функцией от x
и .
Поэтому принадлежит рассматриваемому типу.
В более общем случае, в подынтегральное выражение может входить любое конечное число корней от одной и той же дробно-линейной функции:
(2)
,
где R
- рациональная функция своих аргументов,
- рациональные числа,
m 1
, n 1
, ..., m s , n s
- целые числа.
Действительно, пусть n
- общий знаменатель чисел r 1 , ..., r s
.
Тогда их можно представить в виде:
,
где k 1
, k 2
, ..., k s
- целые числа. Тогда все входящие в (2)
корни являются степенями от :
,
,
. . . . .
.
То есть все подынтегральное выражение (2)
составлено из x
и корня с помощью конечного числа операций сложения, умножения и деления. Поэтому оно является рациональной функцией от x
и :
.
Интеграл с дробно-линейной иррациональностью
(1)
сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой
(3)
.
Извлекаем корень степени n
из обеих частей (3)
:
.
Преобразуем (3)
:
;
;
.
Находим производную:
;
;
.
Дифференциал:
.
Подставляем в (1)
:
.
Отсюда видно, что подынтегральная функция составлена из постоянных и переменной интегрирования t с помощью конечного числа операций сложения (вычитания), умножения (возведения в целочисленную степень) и деления. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией от переменной интегрирования. Таким образом, вычисление интеграла свелось к интегрированию рациональной функции. Что и требовалось доказать.
Найти интеграл:
Поскольку в интеграл входят корни от одной и той же (дробно) линейной функции x + 1 , и подынтегральное выражение образовано с помощью операций вычитания и деления, то данный интеграл принадлежит рассматриваемому типу.
Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы в него входили корни одной степени:
;
;
.
Делаем подстановку
x + 1
= t 6
.
Берем дифференциал:
d(x + 1)
= dx = (
t 6 )′
dt = 6
t 5
dt
.
Подставляем:
x = t 6 - 1
;
;
;
.
Выделяем целую часть дроби, замечая что
t 6 - 1 =
(t - 1)(t 5
+ t 4
+ t 3
+ t 2
+ t + 1)
.
Тогда
.
,
где .
Найти интеграл
Выделим корень из дробно-линейной функции:
.
Тогда
.
Делаем подстановку
.
Берем дифференциал
.
Находим производную
.
Тогда
.
Далее замечаем, что
.
Подставляем в подынтегральное выражение
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Этом параграфе будет рассмотрен метод интегрирования рациональных функций. 7.1. Краткие сведения о рациональных функциях Простейшей рациональной функцией является многочлен ti-ой степени, т.е. функция вида где - действительные постоянные, причем а0 Ф 0. Многочлен Qn(x), у которого коэффициент а0 = 1» называется приведенным. Действительное число b называется корнем многочлена Qn(z), если Q„(b) = 0. Известно, что каждый многочлен Qn(x) с действительными коэффициентами единственным образом разлагается на действительные множители вида где р, q - действительные коэффициенты, причем квадратичные множители не имеют действительных корней и, следовательно, неразложимы на действительные линейные множители. Объединяя одинаковые множители (если таковые имеются) и полагая, для простоты, многочлен Qn(x) приведенным, можнозаписатьегоразложение на множители в виде где - натуральные числа. Так как степень многочлена Qn(x) равна п, то сумма всех показателей а, /3,..., А, сложенная с удвоенной суммой всех показателей щ,..., ц, равна п: Корень а многочлена называется простым или однократным, если а = 1, и кратным, если а > 1; число а называется кратностью корня а. То же самое относится и к другим корням многочлена. Рациональной функцией f(x) или рациональной дробью называется отношение двух многочленов причем предполагается, что многочлены Рт{х) и Qn{x) не имеют общих множителей. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. . Если же m п, то рациональная дробь называется неправильной и в этом случае, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде где - некоторые многочлены, а ^^ является правильной рациональной дробью. Пример 1. Рациональная дробь является неправильной дробью. Разделив «уголком», будем иметь Следовательно. Здесь. причем правильная дробь. Определение. Простейшими (или элементарными) дробями называются рациональные дроби следующих четырех типов: где - действительные числа, к - натуральное число, большее или равное 2, а квадратный трехчлен х2 + рх + q не имеет действительных корней, так что -2 _2 его дискриминант В алгебре доказывается следующая теорема. Теорема 3. Правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами, знаменатель которой Qn(x) имеет вид разлагается единственным способом на сумму простейших дробей по правилу Интегрирование рациональных функций Краткие сведения о рациональных функциях Интегрирование простейших дробей Общий случай Интегрирование иррациональных функций Первая подстановка Эйлера Вторая подстановка Эйлера Третья подстановка Эйлера В этом разложении - некоторые действительные постоянные, часть которых может быть равна нулю. Для нахождения этих постоянных правую.часть равенства (I) приводят к общему знаменателю, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях левой и правой частей. Это дает систему линейных уравнений, из которой находятся искомые постоянные. . Этот метод нахождения неизвестных постоянных называется методом неопределенных коэффициентов. Иногда бывает удобнее применить другой способ нахождения неизвестных постоянных, который состоит в том, что после приравнивания числителей получается тождество относительно х, в котором аргументу х придают некоторые значения, например, значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения постоянных. Особенно он удобен, если знаменатель Q„(x) имеет только действительные простые корни. Пример 2. Разложи ь на простейшие дроби рациональную дробь Данная дробь правильная. Разлагаем знаменатель на множи ели: Так как корни знаменателя действительные и различные, то на основании формулы (1) разложение дроби на простейшие будет иметь вид Привода правую честь «того равенства к общему знаменателю и приравнивая числители а его левой и правой частях, получим тождество или Неизвестные коэффициенту А. 2?, С найдем двумя способами. Первый споооб. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, т.в. при (свободный член), а левой и правой частях тождестве, получим линейную систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С: Это система имеет единственное решение С Второй способ. Тек как корни знаменателя рваны ствв в я 0, получим 2 = 2А, откуда А * 1; г я 1, получим -1 * -В, откуда 5*1; х я 2, получим 2 = 2С. откуда С» 1, и искомое разложение имеет вид 3. Рехложнтъ не простейшие дроби рациональную дробь 4 Разлагаем многочлен, стоящий а энаиеивтвле, на множители: . Знаменатель имеет две различных двйствитв ьных корня: х\ = 0 кратности кратности 3. Поэтому разложение данной дроби не простейшие имеет вид Приведя правую часть к общему знаменателю, найдем или Первый способ. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего тождаства. получим линейную систему уравнений Эта система имеет единственное решение и искомым разложением будет Второй способ. В полученном тождестве полагая х = 0, получаем 1 а А2, или А2 = 1; поле* гея х = -1, получим -3 я В}, или Bj я -3. При подстановке найденных значений коэффициентов А\ и В) а тождество оно примет вид или Полагая х = 0, а затем х = -I. найдем, что = 0, В2 = 0 и. значит, В\ = 0. Таким образом, опять получаем Пример 4. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь 4 Знаменатель дроби не имеет действительных корней, так как функция х2 + 1 не обращается е. нуль ни при каких действительных значениях х. Поэтому разложение на простейшие дроби должно иметь вид Отсюда получаем или. Приравнивая коэффициенты при сшинаковых степенях х в левой и правой частях последнего равенства, будем иметь откуда находим и, следовательно, Следует отметить, что в некоторых случаях разложения на простейшие дроби можно получить быстрее и проще, действуя каким-либо другим путем, не пользуясь методом неопределенных коэффициентов. Например, для получения разложения дроби в примере 3, можно прибавить и вычесть в числителе Зх2 и произвести деление, так как уквзано ниже. 7.2. Интегрирование простейших дробей, Как было сказано выше, любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби (§7), причем это представление единственно. Интегрирование многочлена не представляет трудностей, поэтому рассмотрим вопрос об интегрировании правильной рациональной дроби. Так как любая правильная рациональная дробь представима в виде суммы простейших дробей, то ее интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей. Рассмотрим теперь вопрос об их интегрировании. III. Для нахождения интеграла от простейшей дроби третьего типа выделим у квадратного трехчлена полный квадрат двучлена: Так как второе слагаемое то положим его равным а2, где а затем сделаем подстанов. Тогда, учитывая линейные свойства интеграла, найдем: Пример 5. Найти интеграл 4 Подынтегральная функция является простейшей дробью третьего типа, так как квадратный трехчлен х1 + Ах + 6 не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен: , а в числителе стоит многочлен первой степени. Поэтому поступаем следующим образом: 1) выделяем полный квадрат в знаменателе 2) делаем подстановку (здесь 3) на*одим интегрвл Для нахождения интеграла от простейшей дроби четвертого типа положим, как и выше, . Тогда получим Интеграл в правой части обозначим через Л и преобразуем его следующим образом: Интеграл в правой части интегрируем по частям, полагая откуда или Интегрирование рациональных функций Краткие сведения о рациональных функциях Интегрирование простейших дробей Общий случай Интегрирование иррациональных функций Первая подстановка Эйлера Вторая подстановка Эйлера Третья подстановка Эйлера Мы получили так называемую рекуррентную формулу, которая позволяет найти интеграл Jk для любого к = 2, 3,... . Действительно, интеграл J\ является табличным: Полагая в рекуррентной формуле, найдем Зная и полагая Л = 3, легко найдем Jj и так далее. В окончательном результате, подставляя всюду вместо t и а их выражения через х и коэффициенты р и q, получим для первоначального интеграла выражение егочерез х и заданные числа М, ЛГ, р, q. Пример 8. Нейти интеграл « Подынтеграленая функция есть простейшая дробь четвертого типа, так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, т.е. в значит, знаменатель действительных корней не имеет, и числитель есть многочлен 1-ой степени. 1) Выделяем а знаменателе полный квадрат 2) Делаем подстановку: Интеграл примет вид: Полагая в рекуррентной формуле * = 2, а3 = 1. будем иметь, и, следовательно, искомый интеграл рввен Возвращаясь к переменной х, получим окончательно 7.3. Общий случай Из результатов пп. 1 и 2 этого параграфа непосредственно следует важная теорема. Теорем! 4. Неопредьченный интеграл от любой рациональной функции всегда существует (на интервалах, в которых знаменатель дроби Q„(х) ф 0) и выражается через конечное число элементарных функций, а именно, он является алгебраической сум.чой, членами которой могут быть лишь мнконаены, рациональные дроби, натуральные логарифмы и арктангенсы. Итак, для нахождения неопределенного интеграла от дробно-рациональной функции следует поступать следу юишм образом: 1) если рациональная дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель выделяется целая часть, т. е. данная функция представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби; 2) затем знаменатель полученной правильной дроби разлагается на произведение линейных и квадратичных множителей; 3) эта правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей; 4) используя линейность интеграла и формулы п. 2, находятся интегралы от каждого слагаемого в отдельности. Пример 7. Найти интеграл М Так как знаменатель есть многочлен третьей стелени, то подынтегральная функция является неправильной дробью. Выделяем в ней целую часть: Следовательно, будем иметь. Знаменатель правильной дроби имеет фи различных действительных корня: и поэтому ее разложение на простейшие дроби имеет вид Отсюда находим. Придавая аргументу х значения, равные корням знаменателя, найдем из этого тождества, что: Следовательно, Искомый интеграл будет равен Пример 8. Найти интеграл 4 Подынтегральная функция является правильной дробью, знаменатель которой имеет два различных действительных корня: х - О кратности 1 и х = 1 кратности 3, Поэтому разложение подынтегральной функции на простейшие дроби имеет вид Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю и сокращая обе части равенства на этст знаменатель, получим или. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого тождества: Отсюда находим. Подставляя найденные значения коэффициентов в разложение, будем иметь Интегрируя, находим: Пример 9. Найти интеграл 4 Знаменатель дроби не имеет действительных корней. Поэтому разложение на простейшие дроби подынтегральной функции имеет вид Отсюда или Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого тождества, будем иметь откуда находим и, следовательно, Замечание. В приведенном примере подынтегральную функцию можно представить в виде суммы простейших дробей более простым способом, а именно, в числителе дроби выделяем бином, стоящий в знаменатгле, а затем производим почленное деление: §8. Интегрирование иррациональных функций Функция вида где Рт и £?„ яачяются многочленами степеней тип соответственно от переменных иь«2,... называется рацыональкой функцией от ubu2j... Например, многочлен второй степени от двух переменных и\ и и2 имеет вид где - некоторые действительные постоянные, причем Пример 1, Функция является рациональной функцией от переменных г и у, так как она представляет ообой отношение многочлена третьей степени и многочлене пятой степени а фунщия тисовой не является. В том случае, когда переменные, в свою очередь, являются функциями переменной ж: то функция ] называется рациональной функцией от функций Примера. Фуниция есть рациональная функция от г и рвдиквлв Пряивр 3. Функция вида не является рациональной функцией от х и радикале у/г1 + 1, но она является рациональной функцией от функций Как показывают примеры, интегралы от иррациональных функций не всегда выражаются через элементарные функции. Например, часто встречающиеся в приложениях интегралы не выражаются через элементарные функции; эти интегралы называются эллиптическими интегралами первого и второго родов соответственно. Рассмотрим те случаи, когда интегрирование иррациональных функций можно свести с помощью некоторых подстановок к интегрированию рациональных функций. 1. Пусть требуется найти интеграл где R(x, у) - рациональная функция своих аргументов х и у; m £ 2 - натуральное число; а, 6, с, d - действительные постоянные, удовлетворяющие условию ad- Ьс ^ О (при ad - be = 0 коэффициенты а и Ь пропорциональны коэффициентам с и d, и по-этомуотношение не зависитот ж; значит, в этом случае подынтегральная функция будет являться рациональной функцией переменной х, интегрирование которой было рассмотрено ранее). Сделаем в данном интеграле замену переменной, положив Отсюда выражаем переменную х через новую переменную Имеем х = - рациональная функция от t. Далее находим или, после упрощения, Поэтому где Л1 (t) - рациональная функция от *, так какрациональнаяфунадия от рациональной функции, а также произведение рациональных функций, представляют собой рациональные функции. Интегрировать рациональные функции мы умеем. Пусть Тогда искомый интеграл будет равен При. ИвЙти интеграл 4 Подынтегральна* функция есть рациональная функция от. Поэтому полагаем t = Тогда Интегрирование рациональных функций Краткие сведения о рациональных функциях Интегрирование простейших дробей Общий случай Интегрирование иррациональных функций Первая подстановка Эйлера Вторая подстановка Эйлера Третья подстановка Эйлера Таким образом, получим Примар 5. Найти интеграл Общий знаменатель дробных показателей степеней х равен 12, поэтому подынтегральную функцию можно представить в виде 1 _ 1_ откуда видно, что она является рациональной функцией от: Учитывая это, положим. Следовательно, 2. Рассмотрим интефпы вида где подынтефальная функция такова, что заменив в ней радикал \/ах2 + Ъх + с через у, получим функцию R{x} у) - рациональную относительно обоих аргументов х и у. Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции другой переменной подстановками Эйлера. 8.1. Первая подстановка Эйлера Пусть коэффициент а > 0. Положим или Отсюда находим х как рациональную функцию от и, значит, Таким образом, указанная подстановка выражает рационально через *. Поэтому будем иметь где Замечание. Первую подстановку Эйлера можно брать и в виде Пример 6. Найти интеграл найдем Поэтому будем иметь dx подстановку Эйлера, показать, что У 8.2. Вторая подстановка Эйлера Пусть трехчлен ах2 + Ьх + с имеет различные действительные корни Я] и х2 (коэффициента может иметь любой знак). В этом случае полагаем Так как то получаем Так как x,dxn у/ах2 + be + с выражаются рационально через t, то исходный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции, т. е. где Задача. Применяя первую подстановку Эйлера, показать, что - рациональная функция от t. Пример 7. Нейти интеграл dx М функция ] - х1 имеет различные действительные корни. Поэтому применяем вторую подстановку Эйлере Отсюда находим Подставляя найденные вырежения в Данный?в*гйвл; получим 8.3. ТретьяподстацомлЭйлера Пусть коэффициент с > 0. Делаем замену переменной, положив. Заметим, что для приведения интеграла к интегралу от рациональной функции достаточно первой и второй подстановок Эйлера. В самом деле, если дискриминант б2 -4ас > 0, то корни квадратного трехчлена ах +Ъх + с действител ьны, и в этом случае применима вторая подстановка Эйлера. Если, то знак трехчлена ах2 + Ьх + с совпадает со знаком коэффициента а, и так как трехчлен должен быть положительным, то а > 0. В этом случае применима первая подстановка Эйлера. Для нахождения интегралов указан ного выше вида не всегда целесообразно применять подстановки Эйлера, так какдля них можно найти и другие способы интегрирования, приводящие к цели быстрее. Рассмотрим некоторые из таких интегралов. 1. Для нахождения интегралов вида выделяют прлный квадрат из квадрата ого трехчлена: где После этого делают подстановку и получают где коэффициенты а и Р имеют разные знаки или они оба положительны. При, а также при а > 0 и интеграл сведется к логарифму, если же - к арксинусу. При. Найти имтегрел 4 Таккак то. полагая, получаем Прммар 9. Найти. Полагал x -, будем иметь 2. Интеграл вида приводится к интеграл у из п. 1 следующим образом. Учитывая, что производная ()" = 2, выделяем ее в числителе: 4 Выявляем в числителе производную подкоренного выражения. Так как (х, то будем иметь, учитывая результат примера 9, 3. Интегралы вида где Р„(х) - многочлен п-ой степени, можно находить методом неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем. Допустим, что имеет место равенство Пример 10. Майти интеграл где Qn-i(s) -многочлен (n - 1)-ой степени с неопределенными коэффициентами: Для нахождения неизвестных коэффициентов | продифференцируем обе части (1): Затем правую часть равенства (2) приводим к общему знаменателю, равному знаменателю левой части, т.е. у/ах2 + Ьх + с, сокращая на который обе части (2), получим тождество в обеих частях которого стоят многочлены степени п. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях (3), получим n + 1 уравнений, из которых находим искомые коэффициенты j4*(fc = 0,1,2,..., п). Подставляя их значения в правую часть (1) и найдя интеграл + с получим ответ для данного интеграла. Пример 11. Найти интеграл Положим Дифференцируя обе масти равенства, будем иметь Приводя правую часть к общему знаменателе и сокращая на него обе части, получим тождество или. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, придем к системе уравнений из которой находим = Затем находим интеграл, стоящий в правой части равенства (4): Следовательно, искомый интеграл будет равен
Определение 1
Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Замечание
Определение 2 можно записать следующим образом:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
Не от всякой иррациональной функции можно выразить интеграл через элементарные функции. Однако большинство таких интегралов с помощью подстановок можно привести к интегралам от рациональных функций, которые можно выразить интеграл через элементарные функции.
$\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $.
При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,x^{m/n} ,...,x^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:
При данной подстановке каждая дробная степень переменной $x$ выражается через целую степень переменной $t$. В результате чего подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.
Пример 1
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} .\]
Решение:
$k=4$ - общий знаменатель дробей $\frac{1}{2} ,\, \, \frac{3}{4} $.
\ \[\begin{array}{l} {\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} \cdot t^{3} dt =4\int \frac{t^{5} }{t^{3} +1} dt =4\int \left(t^{2} -\frac{t^{2} }{t^{3} +1} \right)dt =4\int t^{2} dt -4\int \frac{t^{2} }{t^{3} +1} dt =\frac{4}{3} \cdot t^{3} -} \\ {-\frac{4}{3} \cdot \ln |t^{3} +1|+C} \end{array}\]
\[\int \frac{x^{1/2} dx}{x^{3/4} +1} =\frac{4}{3} \cdot \left+C\]
При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{m/n} ,...,\left(\frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r/s} \right)dx $ необходимо выполнить следующую подстановку:
где $k$ - общий знаменатель дробей $\frac{m}{n} ,...,\frac{r}{s} $.
В результате данной подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от переменной $t$.
Пример 2
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx .\]
Решение:
Сделаем следующую подстановку:
\ \[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =\int \frac{t^{2} }{t^{2} -4} dt =2\int \left(1+\frac{4}{t^{2} -4} \right)dt =2\int dt +8\int \frac{dt}{t^{2} -4} =2t+2\ln \left|\frac{t-2}{t+2} \right|+C\]
Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{\sqrt{x+4} }{x} dx =2\sqrt{x+4} +2\ln \left|\frac{\sqrt{x+4} -2}{\sqrt{x+4} +2} \right|+C.\]
При нахождении интеграла вида $\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right)dx $ выполняется так называемая подстановка Эйлера (используется одна из трех возможных подстановок).
Первая подстановка Эйлера
Для случая $a>
Взяв перед $\sqrt{a} $ знак «+», получим
Пример 3
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } .\]
Решение:
Сделаем следующую подстановку (случай $a=1>0$):
\[\sqrt{x^{2} +c} =-x+t,\, \, x=\frac{t^{2} -c}{2t} ,\, \, dx=\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt,\, \, \sqrt{x^{2} +c} =-\frac{t^{2} -c}{2t} +t=\frac{t^{2} +c}{2t} .\] \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\int \frac{\frac{t^{2} +c}{2t^{2} } dt}{\frac{t^{2} +c}{2t} } =\int \frac{dt}{t} =\ln |t|+C\]
Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +c} } =\ln |\sqrt{x^{2} +c} +x|+C.\]
Вторая подстановка Эйлера
Для случая $c>0$ необходимо выполнить следующую подстановку:
Взяв перед $\sqrt{c} $ знак «+», получим
Пример 4
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx .\]
Решение:
Сделаем следующую подстановку:
\[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1.\]
\ \[\sqrt{1+x+x^{2} } =xt+1=\frac{t^{2} -t+1}{1-t^{2} } \] \
$\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =\int \frac{(-2t^{2} +t)^{2} (1-t)^{2} (1-t^{2})(2t^{2} -2t+2)}{(1-t^{2})^{2} (2t-1)^{2} (t^{2} -t+1)(1-t^{2})^{2} } dt =\int \frac{t^{2} }{1-t^{2} } dt =-2t+\ln \left|\frac{1+t}{1-t} \right|+C$Сделав обратную замену, получим окончательный результат:
\[\begin{array}{l} {\int \frac{(1-\sqrt{1+x+x^{2} })^{2} }{x^{2} \sqrt{1+x+x^{2} } } dx =-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +\ln \left|\frac{x+\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x-\sqrt{1+x+x^{2} } +1} \right|+C=-2\cdot \frac{\sqrt{1+x+x^{2} } -1}{x} +} \\ {+\ln \left|2x+2\sqrt{1+x+x^{2} } +1\right|+C} \end{array}\]
Третья подстановка Эйлера
Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой при помощи метода интегрирования.
Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа ∫ k x + b p d x , где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.
Пример 1
Найти и вычислить первообразные функции y = 1 3 x - 1 3 .
Решение
По правилу интегрирования необходимо применить формулу ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C , а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что
∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 · 1 - 1 3 + 1 · (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C
Ответ: ∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .
Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , когда значение p считается рациональной дробью.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .
Решение
Отметим, что d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 " d x = (3 x 2 + 5) d x . Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что
∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 · (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C
Ответ: ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .
Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида ∫ d x x 2 + p x + q , где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что
x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4
Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:
∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C
Тогда вычисление интеграла производится:
∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C
Пример 3
Найти неопределенный интеграл вида ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .
Решение
Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:
∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2
Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что
x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16
Тогда получаем неопределенный интеграл вида 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
Ответ: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
Интегрирование иррациональных функций производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y = 1 - x 2 + p x + q .
Пример 4
Найти неопределенный интеграл ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .
Решение
Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.
∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9
Табличный интеграл имеет вид ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C , тогда получаем, что ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 + C
Ответ: ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .
Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y = M x + N x 2 + p x + q , где имеющиеся M , N , p , q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:
подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.
Пример 5
Найти первообразные функции y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 .
Решение
Из условия имеем, что d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x и x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 , тогда (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .
Рассчитаем интеграл: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 · 1 - 1 2 + 1 · x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C
Ответ: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .
Поиск неопределенных интегралов функции ∫ x m (a + b x n) p d x осуществляется при помощи метода подстановки.
Для решения необходимо ввести новые переменные:
Найти определенный интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .
Решение
Получаем, что ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Отсюда следует, что m = - 1 , n = 1 , p = - 1 2 , тогда m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида - 9 + 2 x = z 2 . Необходимо выразить x через z . На выходы получим, что
9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z
Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что
∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C
Ответ: ∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .
Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.
Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.
Пример 1.
По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти
закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию
s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). В самом деле
\(s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt \)
Ответ: \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \)
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида \(s(t) = \frac{gt^2}{2} + C \), где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку \(\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt \)
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня (\(\sqrt{x} \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.
Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для \(x \in X \) выполняется равенство F"(x) = f(x)
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство
(x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство
(x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство
(sin(x))" = cos(x)
При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).
Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция \(y=\frac{1}{k}F(kx+m) \)
Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом
заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора
подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Сделаем подстановку \(x= \varphi(t) \) где
\(\varphi(t) \) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла
получаем формулу интегрирования подстановкой:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Интегрирование выражений вида \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
