До сих пор нам было удобно ссылаться на программистский опыт , говоря об алгоритмах, программах, интерпретаторах, пошаговом выполнении и т.д. Это позволяло нам игнорировать детали построения тех или иных алгоритмов под тем предлогом, что читатель их легко восстановит (или хотя бы поверит все-таки не каждый читатель в своей жизни писал интерпретатор паскаля на паскале).
Но в некоторых случаях этого недостаточно. Пусть, например, мы хотим доказать алгоритмическую неразрешимость какой-то задачи, в определении которой ничего не говорится о программах (в этом разделе, например, мы докажем неразрешимость проблемы равенства слов в полугруппах , заданных образующими и соотношениями). Это обычно делается так. Мы показываем, что проблема остановки сводится к этой задаче. Для этого мы моделируем работу произвольного алгоритма в терминах рассматриваемой задачи (что это значит, будет видно из приводимого ниже примера). При этом нам важно, чтобы определение алгоритма было как можно проще.
Таким образом, наш план таков. Мы опишем довольно просто определяемый класс машин (его можно выбирать по-разному, мы будем использовать так называемые машины Тьюринга), затем объявим, что всякая вычислимая функция может быть вычислена на такой машине, а затем покажем, что вопрос об остановке машины Тьюринга можно свести к вопросу о равенстве слов в полугруппе.
Другая причина, по которой важны простые вычислительные модели (таких моделей много разные виды машин Тьюринга, адресные машины и т.п.), связана с теорией сложности вычислений, когда нас начинает интересовать время выполнения программ. Но этот вопрос выходит за рамки классической теории алгоритмов.
Машина Тьюринга имеет бесконечную в обе стороны ленту , разделенную на квадратики (ячейки ). В каждой ячейке может быть записан некоторый символ из фиксированного (для данной машины) конечного множества , называемого алфавитом данной машины. Один из символов алфавита выделен и называется " пробелом" предполагается, что изначально вся лента пуста, то есть заполнена пробелами.
Машина Тьюринга может менять содержимое ленты с помощью специальной читающей и пишущей головки , которая движется вдоль ленты. В каждый момент головка находится в одной из ячеек. Машина Тьюринга получает от головки информацию о том, какой символ та видит, и в зависимости от этого (и от своего внутреннего состояния) решает, что делать, то есть какой символ записать в текущей ячейке и куда сдвинуться после этого (налево, направо или остаться на месте). При этом также меняется внутреннее состояние машины (мы предполагаем, что машина не считая ленты имеет конечную память , то есть конечное число внутренних состояний). Еще надо договориться, с чего мы начинаем и когда кончаем работу.
Таким образом, чтобы задать машину Тьюринга, надо указать следующие объекты:
Таблица переходов устроена следующим образом: для каждой пары указана тройка . Здесь сдвиг одно из чисел -1 (влево), 0 (на месте) и 1 (направо). Таким образом, таблица переходов есть функция типа S x A -> S x A x {-1,0,1} , определенная на тех парах, в которых состояние не является заключительным.
Остается описать поведение машины Тьюринга. В каждый момент имеется некоторая конфигурация , складывающаяся из содержимого ленты (формально говоря, содержимое ленты есть произвольное отображение Z -> A ), текущей позиции головки (некоторое целое число ) и текущего состояния машины (элемент S ). Преобразование конфигурации в следующую происходит по естественным правилам: мы смотрим в таблице, что надо делать для данного состояния и для данного символа, то есть выясняем новое состояние машины, меняем символ на указанный и после этого сдвигаем головку влево, вправо или оставляем на месте. При этом, если новое состояние является одним из заключительных, работа машины заканчивается. Остается договориться, как мы подаем информацию на вход машины и что считается результатом ее работы. Будем считать, что алфавит машины, помимо пробела, содержит символы 0 и 1 (а также, возможно, еще какие-то символы). Входом и выходом машины будут конечные последовательности нулей и единиц (двоичные слова). Входное слово записывается на пустой ленте, головка машины ставится в его первую клетку, машина приводится в начальное состояние и запускается. Если машина останавливается, результатом считается двоичное слово , которое можно прочесть, начиная с позиции головки и двигаясь направо (пока не появится символ, отличный от 0 и 1 ).
Таким образом, любая машина Тьюринга задает некоторую частичную функцию на двоичных словах. Все такие функции естественно назвать вычислимыми на машинах Тьюринга .
Разумеется, наше определение содержит много конкретных деталей, которые можно было бы изменить. Например, лента может быть бесконечной только в одну сторону. Можно придать машине две ленты. Можно считать, что машина может либо написать новый символ, либо сдвинуться, но не то и другое вместе. Можно ограничить алфавит , считая, скажем, что в нем должно быть ровно 10 символов. Можно потребовать, чтобы в конце на ленте ничего не было, кроме результата работы (остальные клетки должны быть пусты). Все перечисленные и многие другие изменения не меняют класса вычислимых на машинах Тьюринга функций. Конечно, есть и небезобидные изменения. Например, если запретить машине двигаться налево, то это радикально поменяет дело по существу лента станет бесполезной, так как к старым записям уже нельзя будет вернуться.
Как понять, какие изменения безобидны, а какие нет? Видимо, тут необходим некоторый опыт практического программирования на машинах Тьюринга, хотя бы небольшой. После этого уже можно представлять себе возможности машины, не выписывая программы полностью, а руководствуясь лишь приблизительным описанием. В качестве примера опишем машину, которая удваивает входное слово (изготавливает слово XX , если на входе было слово X ).
Если машина видит пробел ( входное слово пусто), она кончает работу. Если нет, она запоминает текущий символ и ставит пометку (в алфавите помимо символов 0 и 1 будут еще их " помеченные варианты" и ). Затем она движется направо до пустой клетки, после чего пишет там копию запомненного символа. Затем она движется налево до пометки; уткнувшись в пометку, отходит назад и запоминает следующий символ и так далее, пока не скопирует все слово .
Имея некоторый опыт , можно за всеми этими фразами видеть конкретные куски программы для машины Тьюринга. Например, слова " запоминает символ и движется направо" означают, что есть две группы состояний, одна для ситуации, когда запомнен нуль, другая когда запомнена единица , и внутри каждой группы запрограммировано движение направо до первой пустой клетки.
Имея еще чуть больше опыта, можно понять, что в этом описании есть ошибка не предусмотрен механизм остановки, когда все слово будет скопировано, поскольку копии символов ничем не отличаются от символов исходного слова. Ясно и то, как ошибку исправить надо в качестве копий писать специальные символы и , а на последнем этапе все пометки удалить.
77 . Покажите, что функция " обращение", переворачивающая слово задом наперед, вычислима на машине Тьюринга.
Другой пример неформального рассуждения: объясним, почему можно не использовать дополнительных символов, кроме 0 , 1 и пустого символа. Пусть есть машина с большим алфавитом из N символов. Построим новую машину, которая будет моделировать работу старой, но каждой клетке старой будет соответствовать блок из k клеток новой. Размер блока (число k ) будет фиксирован так, чтобы внутри блока можно было бы закодировать нулями и единицами все символы большого алфавита. Исходные символы 0 , 1 и пустой будем кодировать как 0 , за которым идут (k-1) пустых символов, 1 , за которым идут (k-1) пустых символов, и группу из k пустых символов. Для начала надо раздвинуть буквы входного слова на расстояние k , что можно сделать без дополнительных символов (дойдя до крайней буквы, отодвигаем ее, затем дойдя до следующей, отодвигаем ее и крайнюю и так далее); надо только понимать, что можно идентифицировать конец слова как позицию, за которой следует более k пустых символов. Ясно, что в этом процессе мы должны хранить в памяти некоторый конечный объем информации, так что это возможно. После этого уже можно моделировать работу исходной машины по шагам, и для этого тоже достаточно конечной памяти (е конечного числа состояний), так как нам важна только небольшая окрестность головки моделируемой машины. Наконец, надо сжать результат обратно.
В заключение обсуждения приведем обещанный выше аргумент в пользу того, что любая вычислимая функция вычислима на машине Тьюринга. Пусть есть функция , которую человек умеет вычислять. При этом, он, естественно, должен использовать карандаш и бумагу, так как количество информации , которое он может хранить " в уме", ограничено. Будем считать, что он пишет на отдельных листах бумаги. Помимо текущего листа, есть стопка бумаг справа и стопка слева; в любую из них можно положить текущий лист , завершив с ним работу, а из другой стопки взять следующий. У человека есть карандаш и ластик. Поскольку очень мелкие буквы не видны, число отчетливо различимых состояний листа конечно, и можно считать, что в каждый момент на листе записана одна буква из некоторого конечного (хотя и весьма большого) алфавита. Человек тоже имеет конечную память , так что его состояние есть элемент некоторого конечного множества . При этом можно составить некоторую таблицу, в которой записано, чем кончится его работа над листом с данным содержимым, начатая в данном состоянии (что будет на листе, в каком состоянии будет человек и из какой пачки будет взят следующий лист ). Теперь уже видно, что действия человека как раз соответствуют работе машины Тьюринга с большим (но конечным) алфавитом и большим (но конечным) числом внутренних состояний.
Который, позаимствовав идею у Эмиля Поста, придумал её, как считается, в 1936 году. Несмотря на довольно сложное формальное определение, идея в принципе проста. Чтобы понять её, давайте прогуляемся по страницам Википедии.
Первым делом мы попадаем на страничку, которая, собственно, так и называется: «машина Тьюринга ».
Машина Тьюринга (МТ) - математическая абстракция, представляющая вычислительную машину общего вида. Была предложена Аланом Тьюрингом в году для формализации понятия алгоритма .
Машина Тьюринга является расширением модели конечного автомата и, согласно тезису Чёрча - Тьюринга , способна имитировать (при наличии соответствующей программы) любую машину, действие которой заключается в переходе от одного дискретного состояния к другому.
В состав Машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента , разделённая на ячейки, и управляющее устройство с конечным числом состояний.
Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.
В управляющем устройстве содержится таблица переходов , которая представляет алгоритм, реализуемый данной Машиной Тьюринга. Каждое правило из таблицы предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния Машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные , и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.
Машина Тьюринга называется детерминированной , если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила, и недетерминированной в противном случае.
Итак, машина Тьюринга - математическая абстракция , умозрительное построение человеческого разума: в природе её нет. Или есть? Сразу приходит на ум, как работает живая клетка . Хотя бы два примера.
1. Для производства белков в клетке с помощью сложно устроенного фермента - РНК-полимеразы - считывается информация с ДНК, своего рода информационной ленты машины Тьюринга. Здесь, правда, не происходит перезапись ячеек самой ленты, но в остальном процесс весьма похож: РНК-полимераза садится на ДНК и двигается по ней в одном направлении, при этом она синтезирует нить РНК - нуклеиновой кислоты, сходной с ДНК. Готовая РНК, отсоединяясь от фермента, несёт информацию к клеточным органеллам, в которых производятся белки.
2. Ещё более похож на машину Тьюринга процесс исправления ошибок в ДНК - её репарация. Здесь ДНК-полимераза вместе с другими белками двигается по ленте ДНК и считывает обе её половинки (геномная ДНК, как известно, представляет собой две переплетенных нити, несущих одну и ту же информацию). Если информация в половинках не совпадает, ДНК-полимераза принимает одну из них за образец и «правит» другую.
Такая аналогия не нова, и в Википедии она тоже описана в статье «Молекулярный компьютер »:
Биомолекулярные вычисления или молекулярные компьютеры или даже ДНК - или РНК -вычисления - все эти термины появились на стыке таких различных наук как молекулярная генетика и вычислительная техника.
Биомолекулярные вычисления - это собирательное название для различных техник, так или иначе связанных с ДНК или РНК. При ДНК-вычислениях данные представляются не в форме нулей и единиц, а в виде молекулярной структуры, построенной на основе спирали ДНК. Роль программного обеспечения для чтения, копирования и управления данными выполняют особые ферменты .
Основой всей системы хранения биологической информации, а стало быть, и ДНК-компьютеров, является способность атомов водорода , входящих в азотистые соединения (аденин , тимин , цитозин и гуанин), при определенных условиях притягиваться друг к другу, образуя невалентно связанные пары. С другой стороны, эти вещества могут валентно связываться с сочетаниями молекулы сахара (дезоксирибозы) и фосфата , образуя так называемые нуклеотиды . Нуклеотиды, в свою очередь, легко образуют полимеры длиной в десятки миллионов оснований. В этих супермолекулах фосфат и дезоксирибоза играют роль поддерживающей структуры (они чередуются в цепочке), а азотистые соединения кодируют информацию.
Молекула получается направленной: начинается с фосфатной группы и заканчивается дезоксирибозой. Длинные цепочки ДНК называют нитями, короткие - олигонуклеотидами. Каждой молекуле ДНК соответствует еще одна ДНК - так называемое дополнение Ватсона - Крика . Она имеет противоположную направленность, нежели оригинальная молекула. В результате притяжения аденина к тимину и цитозина к гуанину получается знаменитая двойная спираль, обеспечивающая возможность удвоения ДНК при размножении клетки. Задача удвоения решается с помощью специального белка-энзимы - полимеразы. Синтез начинается только если с ДНК прикреплен кусочек ее дополнения, Данное свойство активно используется в молекулярной биологии и молекулярных вычислениях. По сути своей ДНК + полимераза - это реализация машины Тьюринга , состоящая из двух лент и программируемого пульта управления. Пульт считывает данные с одной ленты, обрабатывает их по некоторому алгоритму и записывает на другую ленту. Полимераза также последовательно считывает исходные данные с одной ленты (ДНК) и на их основе формирует ленту как бы с результатами вычислений (дополнение Ватсона - Крика).
Немножко фантастические перспективы только подогревают наше любопытство. Между тем, мы еще не всё выяснили относительно машины Тьюринга. Как вы помните, в статье из Википедии её назвали расширением конечного автомата. Что же это такое конечный автомат? На него, к счастью, даётся ссылка. Заходя по ней, узнаём, что:
Абстрактные автоматы образуют фундаментальный класс дискретных моделей как самостоятельная модель, и как основная компонента машин Тьюринга , автоматов с магазинной памятью , конечных автоматов и других преобразователей информации.
С каждым определением мы всё больше вторгаемся в область чистой математики. Язык становится строже, появляются формальные определения, состоящие из математических символов. Если двигаться дальше, мы придём к теории алгоритмов и теории вычислимости. Путешествовать по страницам Википедии можно долго, но лучше запастись водой и едой, на случай забредания в пустыни аксиом и определений, или хотя бы надёжными ссылками на учебники по математике, например http://www.mccme.ru/free-books/ , или статьи журнала «Потенциал» ;)
Надеюсь, после этого объяснения вам стало немного яснее, что же такое машина Тьюринга?
Давайте вернёмся к истории этого термина.
Итак, как мы уже упоминали, Алан Тьюринг поведал миру о своей машине в 1937 году в так называемом Тезисе Чёрча-Тьюринга. Про Алана Тьюринга - первого хакера и пионера информатики, как написано на мемориальной доске гостиницы, где он родился, поведает нам статья «Алан Тьюринг». Текст статьи полностью приводить здесь не будем, но она и сама по себе не очень подробная.
Тьюринг, Алан Матисон (23 июня 1912 - 7 июня 1954) - английский математик, логик, криптограф, изобретатель Машины Тьюринга.
В самой статье больше про труды Тьюринга: помимо текста про машину Тьюринга, который мы еще приведем дальше, повествуется о том, что он работал над «проблемой зависания» (Забавно, не так ли? Компьютеров еще не было, и системы Windows тоже, а проблема зависания уже была.); героическая история про то, как Тьюринг взломал код «Энигмы» во время Второй Мировой Войны и тем самым спас Великобританию; факт о том, что он является основателем теории искусственного интеллекта, а также упоминание о знаменитом тесте Тьюринга. Сейчас этот тест уже не так часто используется как завязка научно-фантастического рассказа, однако проблема человеческого в машине всегда останется классикой, как и романы Айзека Азимова и Станислава Лема.
Несмотря на свою старомодность, тест Тьюринга всплыл неожиданным образом в современном мире общения по интернету. К примеру, можно встретить текст диалога двух пользователей ICQ, один из которых является «ботом», и задача - определить, какой именно. Или к Вам может постучаться незнакомый пользователь, возможно, ICQ-робот. Узнаете ли вы его? Изучая теорию, Вы, возможно, сумеете вовремя применить тест Тьюринга и не останетесь обмануты. Начать изучение можно с соответствующей статьи в Википедии, а затем пройтись по ссылкам, приводимым в конце статьи:
Тест Тьюринга - тест, предложенный Аланом Тьюрингом в 1950 г. в статье «Вычислительные машины и разум» (Computing machinery and intelligence) для проверки, является ли компьютер разумным в человеческом смысле слова.
Судья (человек) переписывается на естественном языке с двумя собеседниками, один из которых - человек, другой - компьютер. Если судья не может надёжно определить, кто есть кто, компьютер прошёл тест. Предполагается, что каждый из собеседников стремится, чтобы человеком признали его. С целью сделать тест простым и универсальным, переписка сводится к обмену текстовыми сообщениями.
Переписка должна производиться через контролируемые промежутки времени, чтобы судья не мог делать заключения исходя из скорости ответов. (Во времена Тьюринга компьютеры реагировали медленнее человека. Сейчас это правило необходимо, потому что они реагируют гораздо быстрее, чем человек).
Тест был инспирирован салонной игрой, в ходе которой гости пытались угадать пол человека, находящегося в другой комнате, путём написания вопросов и чтения ответов. В оригинальной формулировке Тьюринга, человек должен был притворяться человеком противоположного пола, а тест длился 5 минут. Сейчас эти правила не считаются необходимыми и не входят в спецификацию теста.
Тьюринг предложил тест, чтобы заменить бессмысленный, по его мнению, вопрос «может ли машина мыслить?» на более определённый.
Тьюринг предсказал, что компьютеры в конечном счёте пройдут его тест. Он считал, что к 2000 году, компьютер с памятью 1 миллиард бит (около 119 Мб) в ходе 5-минутного теста сможет обмануть судей в 30 % случаев. Это предсказание не сбылось. (Правда, на первом конкурсе Лебнера компьютерная программа «PC Therapist» на IBM PC 386 смогла ввести в заблуждение 5 судей из 10, но ей не засчитали результат, а в 1994 году конкурс усложнили.) Тьюринг также предсказал, что сочетание «мыслящая машина» не будет считаться оксюмороном , а обучение компьютеров будет играть важную роль в создании мощных компьютеров (с чем большинство современных исследователей согласны).
Пока что ни одна программа и близко не подошла к прохождению теста. Такие программы, как Элиза (ELIZA), иногда заставляли людей верить, что они говорят с человеком, как, например, в неформальном эксперименте, названном AOLiza. Но такие «успехи» не являются прохождением теста Тьюринга. Во-первых, человек в таких беседах не имел никаких оснований считать, что он говорит с программой, в то время как в настоящем тесте Тьюринга человек активно пытается определить, с кем он беседует. Во-вторых, документированые случаи обычно относятся к таким чатам, как IRC , где многие беседы отрывочны и бессмысленны. В-третьих, многие пользователи IRC используют английский как второй или третий язык, и бессмысленный ответ программы, вероятно, спишется ими на языковый барьер. В-четвертых, многие пользователи ничего не знают об Элизе и ей подобных программах и не могут распознать совершенно нечеловеческие ошибки, которые эти программы допускают.
Ежегодно производится соревнование между разговаривающими программами, и наиболее человекоподобной, по мнению судей, присуждается приз Лебнера (Loebner). Есть дополнительный приз для программы, которая, по мнению судей, пройдёт тест Тьюринга. Этот приз ещё не присуждался.
Самый лучший результат в тесте Тьюринга показала программа A.L.I.C.E. выиграв тест 3 раза (в 2000, 2001 и 2004).
Возвращаемся опять к машине Тьюринга. В выдержке из статьи про Алана Тьюринга утверждается, что впервые понятие машины Тьюринга было предложено в составе т. н. тезиса Чёрча-Тьюринга:
Любая интуитивно вычислимая функция является частично вычислимой, или, эквивалентно, может быть вычислена с помощью некоторой машины Тьюринга.
Алан Тьюринг высказал предположение (известное как Тезис Чёрча-Тьюринга), что любой алгоритм в интуитивном смысле этого слова может быть представлен эквивалентной машиной Тьюринга. Уточнение представления о вычислимости на основе понятия машины Тьюринга (и других эквивалентных ей понятий) открыло возможности для строгого доказательства алгоритмической неразрешимости различных массовых проблем (то есть проблем о нахождении единого метода решения некоторого класса задач, условия которых могут варьироваться в известных пределах). Простейшим примером алгоритмически неразрешимой массовой проблемы является так называемая проблема применимости алгоритма (называемая также проблемой остановки). Она состоит в следующем: требуется найти общий метод, который позволял бы для произвольной машины Тьюринга (заданной посредством своей программы) и произвольного начального состояния ленты этой машины определить, завершится ли работа машины за конечное число шагов, или же будет продолжаться неограниченно долго.
В статье под названием «Те́зис Чёрча-Тью́ринга» про него пишут так:
Те́зис Чёрча-Тью́ринга - фундаментальное утверждение для многих областей науки, таких, как теория вычислимости , информатика , теоретическая кибернетика и др. Это утверждение было высказано Алонзо Чёрчем и Аланом Тьюрингом в середине 1930-х годов.
В самой общей форме оно гласит, что любая интуитивно вычислимая функция является частично вычислимой , или, эквивалентно, может быть вычислена с помощью некоторой машины Тьюринга .
Тезис Чёрча-Тьюринга невозможно строго доказать или опровергнуть, поскольку он устанавливает «равенство» между строго формализованным понятием частично вычислимой функции и неформальным понятием «интуитивно вычислимой функции».
Физический тезис Чёрча-Тьюринга гласит: Любая функция, которая может быть вычислена физическим устройством, может быть вычислена машиной Тьюринга .
С этого перекрёстка можно двинуться в сторону, к примеру, теории вычислимости. А можно попытаться выяснить, кто такой этот загадочный Чёрч, вместе с которым Алан Тьюринг выдвинул свой тезис.
Универсальной машиной Тью́ринга называют машину Тьюринга , которая может заменить собой любую машину Тьюринга. Получив на вход программу и входные данные, она вычисляет ответ, который вычислила бы по входным данным машина Тьюринга, чья программа была дана на вход.
Программу любой детерминированной машины Тьюринга можно записать, используя некоторый конечный алфавит, состоящий из символов состояния, скобок, стрелки и т. п.; обозначим этот машинный алфавит как Σ 1 {\displaystyle \Sigma _{1}} . Тогда универсальной машиной Тьюринга U для класса машин с алфавитом Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{2}} и k входными лентами называется машина Тьюринга с k+1 входной лентой и алфавитом Σ 1 ∪ Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{1}\cup \Sigma _{2}} такая, что если подать на первые k лент входное значение, а на k+1 - правильно записанный код некоторой машины Тьюринга , то U выдаст тот же ответ, какой выдала бы на этих входных данных M 1 {\displaystyle M_{1}} , или будет работать бесконечно долго, если M 1 {\displaystyle M_{1}} на этих данных не остановится.
Теорема об универсальной машине Тьюринга утверждает, что такая машина существует и моделирует другие машины с не более чем квадратичным замедлением (то есть если исходная машина произвела t шагов, то универсальная произведёт не более ct 2 ). Доказательство у этой теоремы конструктивное (такую машину несложно построить, надо только аккуратно её описать). Теорема была предложена и доказана Тьюрингом в 1936-37 г.
Программная реализация на языке программирования Delphi достаточно проста. С одной из таких реализаций можно ознакомиться на сайте http://kleron.ucoz.ru/load/24-1-0-52 . Предусмотрена возможность загрузки и сохранения в файл Excel.
Обобщение детерминированной машины Тьюринга, в которой из любого состояния и значений на ленте машина может совершить один из нескольких (можно считать, без ограничения общности - двух) возможных переходов, а выбор осуществляется вероятностным образом (подбрасыванием монетки).
Вероятностная Машина Тьюринга похожа на недетерминированную машину Тьюринга, только вместо недетерминированного перехода машина выбирает один из вариантов с некоторой вероятностью.
Существует также альтернативное определение:
Вероятностная машина Тьюринга представляет собой детерминированную машину Тьюринга, имеющую дополнительно аппаратный источник случайных битов, любое число которых, например, она может «заказать» и «загрузить» на отдельную ленту и потом использовать в вычислениях обычным для МТ образом.
Класс алгоритмов, завершающихся за полиномиальное время на вероятностной машине Тьюринга и возвращающих ответ с ошибкой менее 1/3, называется классом BPP .
В первой половине XX века, когда были изобретены первые вычислительные машины. Однако наряду с физически осязаемыми машинами появлялись и машины-концепции. Одной из них была «машина Тьюринга» - абстрактное вычислительное устройство, придуманное в 1936 году Аланом Тьюрингом - учёным, которого считают одним из основоположников информатики.
Его кругозор распространялся от квантовой теории и принципа относительности до психологии и неврологии. А в качестве способа познания и передачи своих знаний Тьюринг использовал аппарат математики и логики. Он находил решения, казалось бы, нерешаемых задач, но был сильнее всего увлечен идеей «Универсальной машины», способной вычислить всё, что в принципе вычислимо.
Там Алан Тьюринг и родился 23 июня 1912 года. У него был старший брат Джон. Государственная служба Юлиуса Тьюринга продолжалась и родителям Алана приходилось часто путешествовать между Гастингсом и Индией, оставляя двоих своих сыновей на попечение отставной армейской пары. Признаки гениальности проявлялись у Тьюринга с раннего детства.
В детстве Алан и его старший брат Джон довольно редко видели своих родителей - их отец до 1926 года служил в Индии; дети оставались в Англии и жили на попечении в частных домах, получая строгое английское воспитание, соответствующее их положению на социальной лестнице. В рамках такого воспитания изучение основ естественных наук фактически не предусматривалось.
Маленький Алан обладал очень пытливым умом. Самостоятельно научившись читать в возрасте 6 лет, он просил у своих воспитателей разрешения читать научно-популярные книги.
В 11 лет он ставил вполне грамотные химические опыты, пытаясь извлечь йод из водорослей. Все это доставляло огромное беспокойство его матери, которая боялась, что увлечения сына, идущие вразрез с традиционным воспитанием, помешают ему поступить в Public School (английское закрытое частное учебное заведение для мальчиков, учеба в котором была обязательна для детей аристократов). Но её опасения оказались напрасны: Алан смог поступить в престижную Шербонскую школу (Sherborne Public School).
В шесть лет Алан Тьюринг пошёл в школу святого Михаила в Гастингсе, директор которой сразу отметила его одарённость. В 1926 году, в возрасте 13 лет, Тьюринг пошёл в известную частную школу Шерборн в городе Шерборн графства Дорсет. Его первый день в школе совпал со Всеобщей забастовкой 1926 года. Поэтому Тьюрингу пришлось преодолеть расстояние около 100 км от Саутгемптона до Шерборна на велосипеде, по пути он переночевал в гостинице.
Увлечение Тьюринга математикой не нашло особой поддержки среди учителей Шерборнской школы, где уделяли больше внимания гуманитарным наукам. Директор школы писал родителям: «Я надеюсь, что он не будет пытаться усидеть на двух стульях разом. Если он намеревается остаться в частной школе, то он должен стремиться к получению «образования». Если же он собирается быть исключительно «научным специалистом», то частная школа для него - пустая трата времени».
О школьных успехах Алана красноречиво свидетельствует классный журнал, в котором можно найти, например, следующее
Я могу смотреть сквозь пальцы на его сочинения, хотя ничего ужаснее в жизни своей не видывал, я пытаюсь терпеть его непоколебимую небрежность и непристойное прилежание; но вынести потрясающую глупость его высказываний во время вполне здравой дискуссии по Новому Завету я, все же, не могу.
В 1928 году, в возрасте 16 лет, Тьюринг ознакомился с работой Эйнштейна, в которой ему удалось разобраться до такой степени, что он смог догадаться из текста о сомнениях Эйнштейна относительно выполнимости Законов Ньютона, которые не были высказаны в статье в явном виде.
Кембриджский университет, обладавший особыми привилегиями, дарованными английскими монархами, издавна славился либеральными традициями, и в его стенах всегда царил дух свободомыслия. Здесь Тьюринг обретает – пожалуй, впервые – свой настоящий дом, где он смог полностью отдаться науке.
Главное место в жизни заняло увлечённое изучение столь интересующих его наук – математики и квантовой физики. Те годы были периодом бурного становления квантовой физики, и Тьюринг в студенческие годы знакомится с самыми последними работами в этой области. Большое впечатление производит на него книга Джона фон Неймана «Математические основы квантовой механики», в которой он находит ответы на многие давно интересующие его вопросы.
Тогда Тьюринг, наверное, и не предполагал, что через несколько лет фон Нейман предложит ему место в Принстоне – одном из самых известных университетов США. Ещё позже фон Нейман, так же как и Тьюринг, будет назван «отцом информатики». Но тогда, в начале 30-х годов ХХ века, научные интересы обоих будущих выдающихся учёных были далеки от вычислительных машин – и Тьюринг, и фон Нейман занимаются в основном задачами «чистой» математики.
Тьюринг происходил из аристократической семьи, но никогда не был «эстетом»: кембриджские политические и литературные кружки были чужды ему. Он предпочитал заниматься своей любимой математикой, а в свободное время ставить химические опыты, решать шахматные головоломки.
Ставя химические опыты, он играл в особую игру «Необитаемый остров», изобретенную им самим. Цель игры заключалась в том, чтобы получать различные «полезные» химические вещества из «подручных средств» – стирального порошка, средства для мытья посуды, чернил и тому подобной «домашней химии».
Он также находил отдых в интенсивных занятиях спортом – греблей и бегом. Марафонский бег останется его поистине страстным увлечением до конца жизни.
Тьюринг блестяще заканчивает четырёхлетний курс обучения. Одна из его работ, посвященная теории вероятностей, удостаивается специальной премии, его избирают в научное общество Королевского колледжа. В 1935 году Тьюринг публикует работу «Эквивалентность левой и правой почти-периодичности», в которой он упрощает одну идею фон Неймана в теории непрерывных групп – фундаментальной области современной математики. Казалось, его ждет успешная карьера слегка эксцентричного кембриджского преподавателя, работающего в области «чистой» математики.
Однако Тьюринг никогда не удерживался в каких-либо «рамках». Никто не мог предвидеть, какая экзотическая проблема неожиданно увлечет его, и какой математически неординарный способ ее решения ему удастся придумать.
Кроме того, в Кембридже Алан посещал лекции Виттенштейна Людвига. Виттенштейн утверждал теорию о несостоятельности математики. По его словам математика не ищет истину, но сама создаёт её. Алан был с этим не согласен и много спорил с Людвигом. Тьюринг выступал за «формализм» - математическое философское течение, которое не требовало точного перевода слов и ограничивалось примерным смыслом. А Людвиг искал абсолютной точности.
Во время обучения в колледже Алан Тьюринг изучал основы криптографии – то есть расшифровки данных. Это пригодилось ему во время Второй Мировой войны, когда учёный работал над расшифровкой немецких посланий.
Он доказал, что подобная машина была бы способна произвести любые математические вычисления, представимые в виде алгоритма. Далее Тьюринг показал, что не существует решения Entscheidungsproblem, сперва доказав, что Проблема остановки для машины Тьюринга неразрешима: в общем случае невозможно алгоритмически определить, остановится ли когда-нибудь данная машина Тьюринга.
Хотя доказательство Тьюринга было обнародовано в скором времени после эквивалентного доказательства Алонзо Чёрча, в котором использовались Лямбда-исчисления, сам Тьюринг был с ним не знаком. Подход Алана Тьюринга принято считать более доступным и интуитивным. Идея «Универсальной Машины», способной выполнять функции любой другой машины, или другими словами, вычислить всё, что можно, в принципе, вычислить, была крайне оригинальной. Фон Нейман признал, что концепция современного компьютера основана на этой работе Алана Тьюринга. Машины Тьюринга по-прежнему являются основным объектом исследования теории алгоритмов.
На вопрос : «Что такое машина Тьюринга и какое отношение она имеет к программированию?» один из пользователей Toster ответил так:
В первую очередь - это формальное определение алгоритма. Задача считается алгоритмически разрешимой тогда и только тогда, когда её решение можно запрограммировать на машине Тьюринга (или каким-нибудь другим эквивалентным способом). Это определение даёт, например, возможность предъявить алгоритмически неразрешимые задачи. Позволяет ввести понятие «Тьюринг-полного» языка - если на языке можно реализовать машину Тьюринга, то на нём можно написать любой алгоритм (препроцессор языка С таким не является, а C# - является).В общем, МТ - способ определить некоторый класс алгоритмов:
Некоторые задачи можно решить конечным автоматом;
- для некоторых потребуется конечный автомат со стековой памятью;
- для других достаточно машины Тьюринга;
- для остальных требуется божественное откровение или другие неалгоритмизируемые методы.
В июне 1938 года Тьюринг защитил докторскую диссертацию «Логические системы, основанные на ординалах», в которой была представлена идея сведения по Тьюрингу, заключающаяся в объединении машины Тьюринга с оракулом. Это позволяет исследовать проблемы, которые невозможно решить с помощью лишь машины Тьюринга.
«Блетчли-парку был нужен исключительный талант, исключительная гениальность, и гениальность Тьюринга была именно такой».
С сентября 1938 года Тьюринг работал на полставки в GCHQ - британской организации, специализировавшейся на взломе шифров. Совместно с Дилли Ноксом он занимался криптоанализом «Энигмы». Вскоре после встречи в Варшаве в июле 1939 года, на которой польское Бюро шифров предоставило Великобритании и Франции подробные сведения о соединениях в роторах «Энигмы» и методе расшифровки сообщений, Тьюринг и Нокс начали свою работу над более основательным способом решения проблемы.
Польский метод основывался на недоработках индикаторной процедуры, которые немцы исправили к маю 1940 года. Подход Тьюринга был более общим и основан на методе перебора последовательностей исходного текста, для которого он разработал начальную функциональную спецификацию Bombe.
Машина, созданная на основе этой спецификации, искала возможные настройки, использованные для шифрования сообщений (порядок роторов, положение ротора, соединения коммутационной панели), опираясь на известный открытый текст. Для каждой возможной настройки ротора (у которого было 10 ^ 19 состояний или 10 ^ 22 в модификации, использовавшейся на подводных лодках) машина производила ряд логических предположений, основываясь на открытом тексте (его содержании и структуре).
Далее машина определяла противоречие, отбрасывала набор параметров и переходила к следующему. Таким образом, бо́льшая часть возможных наборов отсеивалась и для тщательного анализа оставалось всего несколько вариантов.
Первая машина была запущена в эксплуатацию 18 марта 1940 года. Перебор ключей выполнялся за счёт вращения механических барабанов, сопровождавшегося звуком, похожим на тиканье часов.
Спецификация для «Бомбы» была только первым из пяти важнейших достижений Тьюринга в области военного криптоанализа.
Учёный также определил индикаторную процедуру ВМФ Германии; разработал более эффективный способ использования Bombe, основанный на статистическом анализе и названный «Банбурисмусом»; метод определения параметров колёс машины Лоренца, названный «Тьюринжерией»; ближе к концу войны Тьюринг разработал портативный шифратор речи Delilah.
Статистический подход к оптимизации исследований различных вероятностей в процессе разгадывания шифров, который использовал Тьюринг, был новым словом в науке. Тьюринг написал две работы: «Доклад о применимости вероятностного подхода в криптоанализе» и «Документ о статистике и повторениях», которые представляли для GCCS, а позже и для GCHQ (англ. Government Communications Headquarters) такую ценность, что не были предоставлены национальному архиву вплоть до апреля 2012 года, незадолго до празднования ста лет со дня рождения учёного. Один из сотрудников GCHQ заявил, что этот факт говорит о беспрецедентной важности этих работ.
Тьюринг занимался также разработкой шифров для переписки Черчилля и Рузвельта, проведя период с ноября 1942 года по март 1943 года в США.
В 1945 году Тьюринг был награждён орденом Британской империи королём Георгом VI за свою военную службу, но этот факт оставался в секрете многие годы.
Несмотря на то, что постройка ACE была вполне осуществима, секретность, окружавшая Блэтчли-парк, привела к задержкам в начале работ, что разочаровало Тьюринга.
1947–1948 академический год Тьюринг провел в Кембридже. Пока Алан Тьюринг пребывал в Кембридже, Pilot ACE был построен в его отсутствие.
Franklin ACE 1200
Он выполнил свою первую программу 10 мая 1950 года. Хотя полная версия ACE никогда не была построена, некоторые компьютеры имели с ним много общего, к примеру, DEUCE и Bendix G-15.
В мае 1948 года получил предложение занять пост преподавателя и заместителя директора вычислительной лаборатории Манчестерского университета, занявшего к этому времени лидирующие позиции в разработке вычислительной техники в Великобритании.
В 1948 году Алан совместно со своим бывшим коллегой начал писать шахматную программу для компьютера, который ещё не существовал.
В том же году Тьюринг изобрёл метод LU-разложения, который используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителя.
В то же время Тьюринг продолжал работать над более абстрактными математическими задачами, а в своей работе «Computing Machinery and Intelligence» (журнал «Mind», октябрь 1950) он обратился к проблеме искусственного интеллекта и предложил эксперимент, ставший впоследствии известным как тест Тьюринга.
Его идея заключалась в том, что можно считать, что компьютер «мыслит», если человек, взаимодействующий с ним, не сможет в процессе общения отличить компьютер от другого человека. В этой работе Тьюринг предположил, что вместо того, чтобы пытаться создать программу, симулирующую разум взрослого человека, намного проще было бы начать с разума ребёнка, а затем обучать его. CAPTCHA, основанный на обратном тесте Тьюринга, широко распространён в интернете.
В 1951 году Тьюринг был избран членом Лондонского королевского общества.
В первоначальной формулировке «тест Тьюринга» предполагает ситуацию, в которой два человека, мужчина и женщина, по некоторому каналу, исключающему восприятие голоса, общаются с отделенным от них стеной третьим человеком, который пытается по косвенным вопросам определить пол каждого из своих собеседников; при этом мужчина пытается сбить с толку спрашивающего, а женщина помогает спрашивающему выяснить истину.
Вопрос при этом заключается в том, сможет ли в этой «имитационной игре» вместо мужчины столь же успешно участвовать машина (будет ли при этом спрашивающий ошибаться в своих выводах столь же часто). Впоследствии получила распространение упрощённая форма теста, в которой выясняется, может ли человек, общаясь в аналогичной ситуации с неким собеседником, определить, общается он с другим человеком или же с искусственным устройством.
Данный мысленный эксперимент имел ряд принципиальных следствий. Во-первых, он предложил некоторый операциональный критерий для ответа на вопрос «Может ли машина мыслить?».
Во-вторых, этот критерий оказался лингвистическим: указанный вопрос был явным образом заменен вопрос о том, может ли машина адекватным образом общаться с человеком на естественном языке. Тьюринг прямо писал о замене формулировки и при этом выражал уверенность в том, что «метод вопросов и ответов пригоден для того, чтобы охватить почти любую область человеческой деятельности, какую мы захотим ввести в рассмотрение».
Следствием этого стала та важнейшая роль, которую в дальнейшем развитии искусственного интеллекта, во всяком случае, до 1980-х годов играли исследования по моделированию понимания и производства естественного языка. В 1977 году тогдашний директор лаборатории искусственного интеллекта Массачусетского технологического института П.Уинстон писал, что научить компьютер понимать естественный язык – это все равно, что добиться построения интеллекта вообще.
Маши́на Тью́ринга (МТ) - абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма .
Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча - Тьюринга , способна имитировать все другие исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.
В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство , способное находиться в одном из множества состояний . Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.
Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.
Управляющее устройство работает согласно правилам перехода , которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные , и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.
Машина Тьюринга называется детерминированной , если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила. Если существует пара «ленточный символ - состояние», для которой существует 2 и более команд, такая машина Тьюринга называется недетерминированной .
Конкретная машина Тьюринга задаётся
перечислением элементов множества букв
алфавита A, множества состояний Q и
набором правил, по которым работает
машина. Они имеют вид: q i a j →q i1 a j1 d k
(если головка находится в состоянии q i ,
а в обозреваемой ячейке записана буква
a j , то головка переходит в состояние
q i1 , в ячейку вместо a j
записывается a j1 , головка делает
движение d k , которое имеет три
варианта: на ячейку влево (L), на ячейку
вправо (R), остаться на месте (N)). Для
каждой возможной конфигурации имеется ровно одно правило.
Правил нет только для заключительного
состояния, попав в которое машина
останавливается. Кроме того, необходимо
указать конечное и начальное состояния,
начальную конфигурацию на ленте и
расположение головки машины.
Приведём пример МТ для умножения чисел в унарной системе счисления . Машина работает по следующему набору правил:
|
Набор правил |
Набор правил |
|
q 0 ×→q 1 ×R |
|
|
q 6 ×→q 7 ×R |
|
|
q 2 ×→q 3 ×L |
|
|
q 3 1 → q 4 aR |
|
|
q 4 ×→q 4 ×R |
Умножим с помощью МТ 3 на 2 в единичной системе:
В протоколе указаны начальное и конечное состояния МТ, начальная конфигурация на ленте и расположение головки машины (подчёркнутый символ).
Основная статья : Полнота по Тьюрингу
Можно сказать, что машина Тьюринга представляет собой простейшую вычислительную машину с линейной памятью, которая согласно формальным правилам преобразует входные данные с помощью последовательности элементарных действий .
Элементарность действий заключается в том, что действие меняет лишь небольшой кусочек данных в памяти (в случае машины Тьюринга - лишь одну ячейку), и число возможных действий конечно. Несмотря на простоту машины Тьюринга на ней можно вычислить всё, что можно вычислить на любой другой машине, осуществляющей вычисления с помощью последовательности элементарных действий. Это свойство называется полнотой .
Один из естественных способов доказательства того, что алгоритмы вычисления, которые можно реализовать на одной машине, можно реализовать и на другой, - это имитация первой машины на второй.
Имитация заключается в следующем. На вход второй машине подаётся описание программы (правил работы) первой машины D и входные данные X , которые должны были поступить на вход первой машины. Нужно описать такую программу (правила работы второй машины), чтобы в результате вычислений на выходе оказалось то же самое, что вернула бы первая машина, если бы получила на вход данные X .
Как было сказано, на машине Тьюринга можно имитировать (с помощью задания правил перехода) все другие исполнители, каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.
На машине Тьюринга можно имитировать машину Поста , нормальные алгоритмы Маркова и любую программу для обычных компьютеров, преобразующую входные данные в выходные по какому-либо алгоритму. В свою очередь, на различных абстрактных исполнителях можно имитировать Машину Тьюринга. Исполнители, для которых это возможно, называются полными по Тьюрингу (Turing complete).
Есть программы для обычных компьютеров, имитирующие работу машины Тьюринга. Но следует отметить, что данная имитация неполная, так как в машине Тьюринга присутствует абстрактная бесконечная лента. Бесконечную ленту с данными невозможно в полной мере имитировать на компьютере с конечной памятью (суммарная память компьютера - оперативная память, жёсткие диски, различные внешние носители данных, регистры и кэш процессора и др. - может быть очень большой, но, тем не менее, всегда конечна).
Модель машины Тьюринга допускает расширения. Можно рассматривать машины Тьюринга с произвольным числом лент и многомерными лентами с различными ограничениями. Однако все эти машины являются полными по Тьюрингу и моделируются обычной машиной Тьюринга.
В качестве примера такого сведения рассмотрим следующую теорему: Для любой машины Тьюринга существует эквивалентная машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте.
Рассмотрим доказательство, приведённое Ю. Г. Карповым в книге «Теория автоматов». Доказательство этой теоремы конструктивное, то есть мы дадим алгоритм, по которому для любой машины Тьюринга может быть построена эквивалентная машина Тьюринга с объявленным свойством. Во-первых произвольно занумеруем ячейки рабочей ленты МТ, то есть определим новое расположение информации на ленте:
Затем перенумеруем ячейки, причём будем считать, что символ «*» не содержится в словаре МТ:
Наконец, изменим машину Тьюринга, удвоив число её состояний, и изменим сдвиг головки считывания-записи так, чтобы в одной группе состояний работа машины была бы эквивалентна её работе в заштрихованной зоне, а в другой группе состояний машина работала бы так, как исходная машина работает в незаштрихованной зоне. Если при работе МТ встретится символ ‘*’, значит головка считывания-записи достигла границы зоны:
Начальное состояние новой машины Тьюринга устанавливается в одной или другой зоне в зависимости от того, в какой части исходной ленты располагалась головка считывания-записи в исходной конфигурации. Очевидно, что слева от ограничивающих маркеров «*» лента в эквивалентной машине Тьюринга не используется.
1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики В.Н. Пильщиков, В.Г. Абрамов, А.А. Вылиток, И.В. Горячая Машина Тьюринга и алгоритмы Маркова. Решение задач (Учебно-методическое пособие) Москва, 2006
2 УДК ББК П32 Пильщиков В.Н., Абрамов В.Г., Вылиток А.А., Горячая И.В. Машина Тьюринга и алгоритмы Маркова. Решение задач. (Учебно-методическое пособие) - М.: МГУ, с. Издательский отдел факультета ВМК МГУ (лицензия ЛР от) Пособие посвящено решению задач по теме «Введение в теорию алгоритмов», изучаемой на первом курсе факультета ВМК МГУ в рамках дисциплины «Алгоритмы и алгоритмические языки». Это задачи на составление алгоритмов в виде машины Тьюринга и нормальных алгоритмов Маркова, а также задачи теоретического характера. В пособии приводятся необходимые сведения по теории алгоритмов, подробно объясняются типичные приёмы решения задач и предлагается большой набор задач для самостоятельного решения. Пособие рассчитано на студентов первого курса факультета ВМК МГУ и преподавателей, ведущих семинарские занятия по программированию. Рецензенты: доцент Баула В.Г. доцент Корухова Л.С. Печатается по решению Редакционно-издательского совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова. ISBN??? Издательский отдел факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова,
3
1. Машина Тьюринга В разделе рассматриваются задачи на составление алгоритмов для машины Тьюринга. Приводится краткое описание этой машины, на примерах объясняются основные приёмы составления таких алгоритмов и предлагаются задачи для самостоятельного решения. 1.1 Краткое описание машины Тьюринга Структура машины Тьюринга Машина Тьюринга (МТ) состоит из двух частей ленты и автомата (см. слева): лента: a b b Λ Λ a b b Λ Λ автомат: q q Лента используется для хранения информации. Она бесконечна в обе стороны и разбита на клетки, которые никак не нумеруются и не именуются. В каждой клетке может быть записан один символ или ничего не записано. Содержимое клетки может меняться в неё можно записать другой символ или стереть находящийся там символ. Договоримся пустое содержимое клетки называть символом «пусто» и обозначать знаком Λ («лямбда»). В связи с этим изображение ленты, показанное на рисунке справа, такое же, как и на рисунке слева. Данное соглашение удобно тем, что операцию стирания символа в некоторой клетке можно рассматривать как запись в эту клетку символа Λ, поэтому вместо длинной фразы «записать символ в клетку или стереть находящийся там символ» можно говорить просто «записать символ в клетку». Автомат это активная часть МТ. В каждый момент он размещается под одной из клеток ленты и видит её содержимое; это видимая клетка, а находящийся в ней символ видимый символ; содержимое соседних и других клеток автомат не видит. Кроме того, в каждый момент автомат находится в одном из состояний, которые будем обозначать буквой q с номерами: q1, q2 и т.п. Находясь в некотором состоянии, автомат выполняет какую-то определённую операцию (например, перемещается направо по ленте, заменяя все символы b на a), находясь в другом состоянии другую операцию. Пару из видимого символа (S) и текущего состояния автомата (q) будем называть конфигурацией и обозначать
4 Такт работы машины Тьюринга МТ работает тактами, которые выполняются один за другим. На каждом такте автомат МТ выполняет три следующих действия, причем обязательно в указанном порядке: 1) записывает некоторый символ S в видимую клетку (в частности, может быть записан тот же символ, что и был в ней, тогда содержимое этой клетки не меняется); 2) сдвигается на одну клетку влево (обозначение L, от left), либо на одну клетку вправо (обозначение R, от right), либо остается неподвижным (обозначение N). 3) переходит в некоторое состояние q (в частности, может остаться в прежнем состоянии). Формально действия одного такта будем записывать в виде тройки: S, , q где конструкция с квадратными скобками означает возможность записи в этом месте любой из букв L, R или N. Например, такт *,L,q8 означает запись символа * в видимую клетку, сдвиг на одну клетку влево и переход в состояние q8. Программа для машины Тьюринга Сама по себе МТ ничего не делает. Для того чтобы заставить её работать, надо написать для неё программу. Эта программа записывается в виде следующей таблицы: q 1 q j q m S 1 S 2 S i S n Λ S, , q Слева перечисляются все состояния, в которых может находиться автомат, сверху все символы (в том числе и Λ), которые автомат может видеть на ленте. (Какие именно символы и состояния указывать в таблице определяет автор программы.) На пересечениях же (в ячейках таблицы) указываются те такты, которые должен выполнить автомат, когда он находится в соответствующем состоянии и видит на ленте соответствующий символ. В целом таблица определяет действия МТ при всех возможных конфигурациях и тем самым полностью задаёт поведение МТ. Описать алгоритм в виде МТ значит предъявить такую таблицу. (Замечание. Часто МТ определяют как состоящую из ленты, автомата и программы, поэтому при разных программах получаются разные МТ. Мы же будет считать, в духе современных компьютеров, что МТ одна, но она может выполнять разные программы.) 4
5
Правила выполнения программы До выполнения программы нужно проделать следующие предварительные действия. Во-первых, надо записать на ленту входное слово, к которому будет применена программа. Входное слово это конечная последовательность символов, записанных в соседних клетках ленты; внутри входного слова пустых клеток быть не должно, а слева и справа от него должны быть только пустые клетки. Пустое входное слово означает, что все клетки ленты пусты. Во-вторых, надо установить автомат в состояние q 1 (указанное в таблице первым) и разместить его под первым символом входного слова: a b b q 1 Если входное слово пустое, то автомат может смотреть в любую клетку, т.к. все они пусты. После этих предварительных действий начинается выполнение программы. В таблице отыскивается ячейка на пересечении первой строки (т.к. автомат находится в состоянии q 1) и того столбца, который соответствует первому символу входного слова (это необязательно левый столбец таблицы), и выполняется такт, указанный в этой ячейке. В результате автомат окажется в новой конфигурации. Теперь такие же действия повторяются, но уже для новой конфигурации: в таблице отыскивается ячейка, соответствующая состоянию и символу этой конфигурации, и выполняется такт из этой ячейки. И так далее. Когда завершается выполнение программы? Введём понятие такта останова. Это такт, который ничего не меняет: автомат записывает в видимую клетку тот же символ, что и был в ней раньше, не сдвигается и остается в прежнем состоянии, т.е. это такт S,N,q для конфигурации
6
2) Второй исход «плохой»: это когда МТ зацикливается, никогда не попадая на такт останова (например, автомат на каждом шаге сдвигается вправо и потому не может остановиться, т.к. лента бесконечна). В этом случае говорят, что МТ неприменима к заданному входному слову. Ни о каком результате при таком исходе не может идти и речи. Отметим, что один и тот же алгоритм (программа МТ) может быть применимым к одним входным словам (т.е. останавливаться) и неприменимым к другим (т.е. зацикливаться). Таким образом, применимость/неприменимость зависит не только от самого алгоритма, но и от входного слова. На каких входных словах алгоритм должен останавливаться? На, так сказать, хороших словах, т.е. на тех, которые относятся к допустимым исходным данным решаемой задачи, для которых задача осмысленна. Но на ленте могут быть записаны любые входные слова, в том числе и те, для которых задача не имеет смысла; на таких словах поведение алгоритма не фиксируется, он может остановиться (при любом результате), а может и зациклиться. Соглашения для сокращения записи Договоримся о некоторых соглашениях, сокращающих запись программы для МТ. 1) Если в такте не меняется видимый символ, или автомат не сдвигается, или не меняется состояние автомата, то в соответствующей позиции такта мы не будем ничего писать. Например, при конфигурации
7 1.2 Примеры на составление программ для МТ Рассмотрим примеры на составление программ для МТ, чтобы продемонстрировать некоторые типичные приёмы программирования на МТ. Для сокращения формулировки задач введём следующие два соглашения: буквой Р будем обозначать входное слово; буквой А будем обозначать алфавит входного слова, т.е. набор тех символов, из которых и только которых может состоять Р (отметим, однако, что в промежуточных и выходном словах могут появляться и другие символы). Пример 1 (перемещение автомата, замена символов) А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Пусть Р непустое слово; значит, Р это последовательность из десятичных цифр, т.е. запись неотрицательного целого числа в десятичной системе. Требуется получить на ленте запись числа, которое на 1 больше числа Р. Решение. Для решения этой задачи предлагается выполнить следующие действия: 1. Перегнать автомат под последнюю цифру числа. 2. Если это цифра от 0 до 8, то заменить её цифрой на 1 больше и остановиться; например: Если же это цифра 9, тогда заменить её на 0 и сдвинуть автомат к предыдущей цифре, после чего таким же способом увеличить на 1 эту предпоследнюю цифру; например: Особый случай: в Р только девятки (например, 99). Тогда автомат будет сдвигаться влево, заменяя девятки на нули, и в конце концов окажется под пустой клеткой. В эту пустую клетку надо записать 1 и остановиться (ответом будет 100): В виде программы для МТ эти действия описываются следующим образом: Λ q1 0,R,q1 1,R,q1 2,R,q1 3,R,q1 4,R,q1 5,R,q1 6,R,q1 7,R,q1 8,R,q1 9,R,q1 Λ,L,q2 q2 1,N,! 2, N,! 3, N,! 4, N,! 5, N,! 6, N,! 7, N,! 8, N,! 9, N,! 0,L,q2 1,N,! Пояснения. q1 это состояние, в котором автомат «бежит» под последнюю цифру числа. Для этого он всё время движется вправо, не меняя видимые цифры и оставаясь в том же состоянии. Но здесь есть одна особенность: когда автомат находится под 7
8 последней цифрой, то он ещё не знает об этом (ведь он не видит, что записано в соседних клетках) и определит это лишь тогда, когда попадёт на пустую клетку. Поэтому, дойдя до первой пустой клетки, автомат возвращается назад под последнюю цифру и переходит в состояние q2 (вправо двигаться уже не надо). q2 это состояние, в котором автомат прибавляет 1 к той цифре, которую видит в данный момент. Сначала это последняя цифра числа; если она в диапазоне от 0 до 8, то автомат заменяет её цифрой, которая на 1 больше, и останавливается. Но если это цифра 9, то автомат заменяет её на 0 и сдвигается влево, оставаясь в состоянии q2. Тем самым, он будет теперь прибавлять 1 к предыдущей цифре. Если и эта цифра равна 9, то автомат заменяет её на 0 и сдвигается влево, оставаясь попрежнему в состоянии q2, т.к. должен выполнить то же самое действие увеличить на 1 видимую цифру. Если же автомат сдвинулся влево, а в видимой клетке нет цифры (а есть «пусто»), то он записывает сюда 1 и останавливается. Отметим, что для пустого входного слова наша задача не определена, поэтому на этом слове МТ может вести себя как угодно. В нашей программе, например, при пустом входном слове МТ останавливается и выдает ответ 1. Выше мы привели запись программы в полном, несокращённом виде. Теперь же приведём запись программы в сокращённом, более наглядном виде, при этом справа дадим краткое пояснение действий, которые реализуются в соответствующих состояниях автомата: Λ q1,r,r,r,r,r,r,r,r,r,r,l,q2 под последнюю цифру q2 1,! 2,! 3,! 4,! 5,! 6,! 7,! 8,! 9,! 0,L, 1,! видимая цифра + 1 Именно так мы и будем в дальнейшем записывать программы. Пример 2 (анализ символов) А={a,b,c}. Перенести первый символ непустого слова Р в его конец. Например: a b c b b c b a Решение. Для решения этой задачи предлагается выполнить следующие действия: 1. Запомнить первый символ слова P, а затем стереть этот символ. 2. Перегнать автомат вправо под первую пустую клетку за P и записать в неё запомненный символ. Как «бегать» вправо, мы уже знаем из предыдущего примера. А вот как запомнить первый символ? Ведь в МТ нет другого запоминающего устройства, кроме ленты, а запоминать символ в какой-то клетке на ленте бессмысленно: как только автомат сдвинется влево или вправо от этой клетки, он тут же забудет данный символ. Что делать? Выход здесь таков надо использовать разные состояния автомата. Если первый символ это a, то надо перейти в состояние q2, в котором автомат 8
9 бежит вправо и записывает в конце a. Если же первым был символ b, тогда надо перейти в состояние q3, где делается всё то же самое, только в конце записывается символ b. Если же первым был символ c, тогда переходим в состояние q4, в котором автомат дописывает за входным словом символ c. Следовательно, то, каким был первый символ, мы фиксируем переводом автомата в разные состояния. Это типичный приём при программировании на МТ. С учётом сказанного программа будет такой: a b c Λ q1 Λ,R,q2 Λ,R,q3 Λ,R,q4,R, анализ 1-го символа, удаление его, разветвление q2,r,r,r, a,! запись a справа q3,r,r,r, b,! запись b справа q4,r,r,r, c,! запись c справа Рассмотрим поведение этой программы на входных словах, содержащих не более одного символа. При пустом слове, которое является «плохим» для задачи, программа зациклится автомат, находясь в состоянии q1 и попадая всё время на пустые клетки, будет бесконечно перемещаться вправо. (Конечно, в этом случае программу можно было бы остановить, но мы специально сделали зацикливание, чтобы продемонстрировать такую возможность.) Если же во входном слове ровно один символ, тогда автомат сотрёт этот символ, сдвинется на одну клетку вправо и запишет в неё данный символ: c c q1 q4! Таким образом, слово из одного символа попросту сдвинется на клетку вправо. Это допустимо. Ведь клетки ленты не нумерованы, поэтому местоположение слова на ленте никак не фиксируется и перемещение слова влево или вправо заметить нельзя. В связи с этим не требуется, чтобы выходное слово обязательно находилось в том же месте, где было входное слово, результат может оказаться и левее, и правее этого места. Пример 3 (сравнение символов, стирание слова) А={a,b,c}. Если первый и последний символы (непустого) слова Р одинаковы, тогда это слово не менять, а иначе заменить его на пустое слово. Решение. Для решения этой задачи предлагается выполнить следующие действия: 1. Запомнить первый символ входного слова, не стирая его. 2. Переместить автомат под последний символ и сравнить его с запомненным. Если они равны, то больше ничего не делать. 3. В противном случае уничтожить всё входное слово. Как запоминать символ и как перегонять автомат под последний символ слова, мы уже знаем из предыдущих примеров. Стирание же входного слова реализуется 9
10 заменой всех его символов на символ Λ. При этом, раз уж автомат оказался в конце слова, будем перемещать автомат справа налево до первой пустой клетки. Эти действия описываются следующей программой для МТ (напомним, что крестик в ячейке таблицы означает невозможность появления соответствующей конфигурации при выполнении программы): a b c Λ q1,q2,q4,q6,! анализ 1-го символа, разветвление q2,r,r,r, L,q3 идти к последнему символу при 1-м символе a q3,!, q8, q8 сравнить посл. символ с a, не равны на q8 (стереть P) q4,r,r,r, L,q5 аналогично при 1-м символе b q5, q8,!, q8 q6,r,r,r, L,q7 аналогично при 1-м символе c q7, q8, q8,! q8 Λ,L, Λ,L, Λ,L,! стереть всё слово, двигаясь справа налево Пример 4 (удаление символа из слова) А={a,b}. Удалить из слова Р его второй символ, если такой есть. Решение. Казалось бы, эту задачу решить просто: надо сдвинуть автомат под клетку со вторым символом и затем очистить эту клетку: a b b a a b b a a b a Однако напомним, что внутри выходного слова не должно быть пустых клеток. Поэтому после удаления второго символа надо «сжать» слово, перенеся первый символ на одну клетку вправо. Для этого автомат должен вернуться к первому символу, запомнить его и стереть, а затем, снова сдвинувшись вправо, записать его в клетку, где был второй символ. Однако начальный «поход» вправо ко второму символу, чтобы его стереть, и последующий возврат к первому символу являются лишними действиями: какая разница переносить первый символ в пустую клетку или в клетку с каким-то символом? Поэтому сразу запоминаем первый символ, стираем его и записываем вместо второго символа: a b b a b b a a b a В виде программы для МТ всё это записывается так: a b Λ q1 Λ,R,q2 Λ,R,q3,! анализ и удаление 1-го символа, разветвление q2,! a,! a,! замена 2-го символа на a q3 b,!,! b,! замена 2-го символа на b Пример 5 (сжатие слова) А={a,b,c}. Удалить из слова Р первое вхождение символа a, если такое есть. Решение. В предыдущем примере мы переносили на позицию вправо только один сим- 10
11
вол. В данном же примере мы будем в цикле переносить вправо все начальные символы b и c входного слова до первого символа a или до пустой клетки: b c b c b a a b b a a b c a a b c b a Центральный момент здесь как перенести символ x из левой клетки в очередную клетку, где находится некоторый символ y, чтобы затем этот символ y можно было перенести в правую клетку? Если через q x обозначить состояние, в котором в видимую клетку надо записать символ x, находившийся ранее в клетке слева, тогда это действие можно изобразить так: x y y z x z q x Для этого предлагается выполнить такт x,r,q y, в котором объединены следующие три действия: во-первых, в видимую клетку записывается символ x, взятый из клетки слева; во-вторых, автомат сдвигается вправо под клетку, в которую затем надо будет записать только что заменённый символ y; в-третьих, автомат переходит в состояние q y, в котором он и будет выполнять эту запись. Повторение таких тактов в цикле и приведёт к сдвигу вправо на одну позицию начальных символов входного слова. Этот цикл должен закончиться, когда в очередной клетке окажется символ a или Λ (y=a или y=λ), а в начале цикла можно считать, что на место первого символа слева переносится символ «пусто» (x=λ). В итоге получается следующая программа для МТ: a b c Λ q1 Λ,R,! Λ,R,q2 Λ,R,q3,! q Λ : стереть 1-й символ и перенести его вправо q2 b,!,r, b,r,q3 b,! q b: запись b, перенос ранее видимого символа вправо q3 c,! c,r,q2,r, c,! q c: запись c, перенос ранее видимого символа вправо В этой программе следует обратить внимание на такт Λ,R,!, который выполняется в конфигурации
12 первый символ (на старом месте его можно пока не удалять), а затем, вернувшись на старое место, записать символ a: b c a b c a b b c a b a c a Перенос символа на одну позицию влево аналогичен переносу символа вправо, о чём говорилось в двух предыдущих примерах, поэтому приведем программу для МТ без дополнительных комментариев. Отметим лишь, что в состояниях q2, q3 и q4 автомат может видеть только пустую клетку, а в состоянии q5 он обязательно видит первый символ входного слова, но не пустую клетку. a b c Λ q1,l,q2,l,q3,l,q4,! анализ 1-го символа для переноса его влево q2 a,r,q5 приписать a слева q3 b,r,q5 приписать b слева q4 c,r,q5 приписать c слева q5,! a,! a,! заменить бывший 1-й символ на a Пример 7 (раздвижка слова) А={a,b,c}. Вставить в слово P символ a за первым вхождением символа c, если такое есть. Решение. Просматриваем входное слово слева направо до пустой клетки или до первого символа c. В первом случае c не входит в P, поэтому ничего не делаем. Во втором случае надо освободить место для вставляемого символа a, для чего сдвигаем начало слова P (от первого символа до найденного символа c) на одну позицию влево. При этом осуществляем такой сдвиг справа налево от символа c к началу слова, раз уж автомат находится под этим символом. Кроме того, чтобы затем не возвращаться к освободившейся позиции, начинаем этот сдвиг с записи a вместо найденного символа c. Поскольку этот циклический сдвиг влево реализуется аналогично циклическому сдвигу вправо из примера 5, то не будем пояснять его, а сразу приведём программу для МТ: a b c Λ q1,r,r, a,l,q4,l,! вправо до с, вставка a вместо c, перенос c влево q2,l, a,l,q3 a,l,q4 a,! перенос a справа q3 b,l,q2,l, b,l,q4 b,! перенос b справа q4 c,l,q2 c,l,q3,l, c,! перенос c справа Пример 8 (формирование слова на новом месте) А={a,b,c}. Удалить из P все вхождения символа a. Решение. Предыдущие примеры показывают, что в МТ достаточно сложно реализуются вставки символов в слова и удаления символов из слов. Поэтому иногда проще не раздвигать или сжимать входное слово, а формировать выходное сло- 12
13 во в другом, свободном месте ленты. Именно так мы и поступим при решении данной задачи. Конкретно предлагается выполнить следующие действия: 1. Выходное слово будем строить справа от входного. Чтобы разграничить эти слова, отделим их некоторым вспомогательным символом, например знаком =, отличным от всех символов алфавита A (см. шаг 1). (Напомним, что на ленте могут быть записаны не только символы из алфавита входного слова.) 2. После этого возвращаемся к началу входного слова (см. шаг 2). a b c a b c = a b c = Теперь наша задача перенести в цикле все символы входного слова, кроме a, вправо за знак = в формируемое выходное слово. Для этого анализируем первый символ входного слова. Если это a, тогда стираем его и переходим к следующему символу (см. шаг 3). Если же первый символ это b или c, тогда стираем его и «бежим» вправо до первой пустой клетки (см. шаг 4), куда и записываем этот символ (см. шаг 5). b c = c = c = b Снова возвращаемся налево к тому символу, который стал первым во входном слове, и повторяем те же самые действия, но уже по отношению к этому символу (см. шаги 6-9). c = b = b = b c Этот цикл завершается, когда при возврате налево мы увидим в качестве первого символа знак =. Это признак того, что мы полностью просмотрели входное слово и перенесли все его символы, отличные от a, в формируемое справа выходное слово. Надо этот знак стереть, сдвинуться вправо под выходное слово и остановиться (см. шаг 10). = b c b c 9 10 С учётом всего сказанного и строим программу для МТ. При этом отметим, что помимо символов a, b и c в процессе решения задачи на ленте появляется знак =, поэтому в таблице должен быть предусмотрен столбец и для этого знака. a b c = Λ q1,r,r,r, =,q2 записать справа знак = q2,l,l,l,l,r,q3 влево к 1-му символу слова q3 Λ,R, Λ,R,q4 Λ,R,q5 Λ,R,! анализ и удаление его, разветвление q4,r,r,r,r, b,q2 запись b справа, возврат налево (в цикл) q5,r,r,r,r, c,q2 запись c справа, возврат налево (в цикл) 13
14 Пример 9 (фиксирование места на ленте) А={a,b}. Удвоить слово P, поставив между ним и его копией знак =. Например: a a b a a b = a a b Решение. Эта задача решается аналогично предыдущей: в конец входного слова записываем знак =, затем возвращаемся к началу слова и в цикле все его символы (в том числе и a) копируем в пустые клетки справа: a a b a a b = a a b = a a b = a 1 2 Однако есть и отличие: копируемые символы входного слова не удаляются, и это приводит к следующей проблеме. Записав справа копию очередного символа, мы затем должны вернуться к входному слову в позицию этого символа и потом сдвинуться вправо к следующему символу, чтобы скопировать уже его. Но как узнать, в какую позицию входного слова надо вернуться? Например, откуда мы знаем в нашем примере, что после копирования первого символа a мы должны вернуться именно к первому символу входного слова, а не ко второму или третьему? В предыдущей задаче мы всегда возвращались к первому из оставшихся символов входного слова, а теперь мы сохраняем все символы, поэтому непонятно, какие символы мы уже скопировали, а какие ещё нет. Отметим также, что в МТ ячейки ленты никак не нумеруются, нет в МТ и счетчиков, которые позволили бы определить, сколько символов мы уже скопировали. В общем виде проблема, с которой мы столкнулись, следующая: как зафиксировать на ленте некоторую позицию, в которой мы уже были и к которой позже должны вернуться? Обычно эта проблема решается так. Когда мы оказываемся в этой позиции в первый раз, то заменяем находящийся в ней символ на его двойник на новый вспомогательный символ, причем разные символы заменяем на разные двойники, например a на A и b на B. После этого мы выполняем какие-то действия в других местах ленты. Чтобы затем вернуться к нашей позиции, надо просто отыскать на ленте ту клетку, где находится символ A или B. Затем в данной клетке можно восстановить прежний символ, если нам больше не надо фиксировать эту позицию (именно для восстановления прежнего символа и надо было заменять разные символы на разные двойники). Воспользуемся этим приёмом в нашей задаче, выполняя следующие действия: 1. Как уже сказано, вначале записываем знак = за входным словом (см. шаг 1 выше). 2. Затем возвращаемся под первый символ входного слова (см. шаг 2 выше). 3. Далее заменяем видимый символ a на двойник A (см. шаг 3 ниже), «бежим» вправо до первой свободной клетки и записываем в неё символ a (см. шаг 4). После этого возвращаемся влево к клетке с двойником A (см. шаг 5), восстанавливаем прежний символ a и сдвигаемся вправо к следующему символу (см. шаг 6). 14
15 a a b = A a b = A a b = a A a b = a a a b = a a A b = a a A b = a a a a B = a a b a a b = a a b Теперь аналогичным образом копируем второй символ (заменяем его на A, в конец дописываем a и т.д.) и все последующие символы входного слова. 4. Когда мы скопируем последний символ входного слова и вернёмся к его двойнику (после шага 12), то затем после сдвига на одну позицию вправо мы попадём на знак = (шаг 13). Это сигнал о том, что входное слово полностью скопировано, поэтому работу МТ надо завершать. С учётом всего сказанного получаем следующую программу для МТ: a b = A B Λ q1,r,r, =,L,q2 поставить = справа от слова q2,l,l,r,q3 налево под 1-й символ q3 A,R,q4 B,R,q5,! анализ и замена очередного символа q4,r,r,r, a,q6 запись a справа q5,r,r,r, b,q6 запись b справа q6,l,l,l, a,r,q3 b,r,q3 возврат, восстановление, к след. символу Отметим, что в этой программе можно избавиться от состояния q6, если объединить его с состоянием q2, предусмотрев в q2 возврат влево как до пустой клетки, так и до символов A и B: a b = A B Λ... q2,l,l,l, a,r,q3 b,r,q3,r,q3 налево до Λ, A или B Задачи для самостоятельного решения Замечания: 1) В задачах рассматриваются только целые неотрицательные числа, если не сказано иное. 2) Под «единичной» системой счисления понимается запись неотрицательного целого числа с помощью палочек должно быть выписано столько палочек, какова величина числа; например: 2, 5, 0 <пустое слово>. 1.1 A={a,b,c}. Приписать слева к слову P символ b (P bp). 1.2 A={a,b,c}. Приписать справа к слову P символы bc (P Pbc). 1.3 A={a,b,c}. Заменить на a каждый второй символ в слове P. 15
16 1.4 A={a,b,c}. Оставить в слове P только первый символ (пустое слово не менять). 1.5 A={a,b,c}. Оставить в слове P только последний символ (пустое слово не менять). 1.6 A={a,b,c}. Определить, является ли P словом ab. Ответ (выходное слово): слово ab, если является, или пустое слово иначе. 1.7 A={a,b,c}. Определить, входит ли в слово P символ a. Ответ: слово из одного символа a (да, входит) или пустое слово (нет). 1.8 A={a,b,c}. Если в слово P не входит символ a, то заменить в P все символы b на с, иначе в качестве ответа выдать слово из одного символа a. 1.9 A={a,b,0,1}. Определить, является ли слово P идентификатором (непустым словом, начинающимся с буквы). Ответ: слово a (да) или пустое слово (нет) A={a,b,0,1}. Определить, является ли слово P записью числа в двоичной системе счисления (непустым словом, состоящем только из цифр 0 и 1). Ответ: слово 1 (да) или слово A={0,1}. Считая непустое слово P записью двоичного числа, удалить из него незначащие нули, если такие есть A={0,1}. Для непустого слова P определить, является ли оно записью степени двойки (1, 2, 4, 8,) в двоичной системе счисления. Ответ: слово 1 (является) или слово A={0,1,2,3}. Считая непустое слово P записью числа в четверичной системе счисления, определить, является оно чётным числом или нет. Ответ: 1 (да) или A={0,1}. Считая непустое слово P записью числа в двоичной системе, получить двоичное число, равное учетверенному числу P (например:) A={0,1}. Считая непустое слово P записью числа в двоичной системе, получить двоичное число, равное неполному частному от деления числа P на 2 (например:) A={a,b,c}. Если P слово чётной длины (0, 2, 4,), то выдать ответ a, иначе пустое слово A={0,1,2}. Считая непустое слово P записью числа в троичной системе счисления, определить, является оно чётным числом или нет. Ответ: 1 (да) или 0. (Замечание: в чётном троичном числе должно быть чётное количество цифр 1.) 1.18 A={a,b,c}. Пусть P имеет нечётную длину. Оставить в P только средний символ A={a,b,c}. Если слово P имеет чётную длину, то оставить в нём только левую половину A={a,b,c}. Приписать слева к непустому слову P его первый символ. 16
17 1.21 A={a,b}. Для непустого слова P определить, входит ли в него ещё раз его первый символ. Ответ: a (да) или пустое слово A={a,b}. В непустом слове P поменять местами его первый и последний символы A={a,b}. Определить, является P палиндромом (перевёртышем, симметричным словом) или нет. Ответ: a (да) или пустое слово A={a,b}. Заменить в P каждое вхождение a на bb A={a,b,c}. Заменить в P каждое вхождение ab на c A={a,b}. Удвоить слово P (например: abb abbabb) A={a,b}. Удвоить каждый символ слова P (например: bab bbaabb) A={a,b}. Перевернуть слово P (например: abb bba) A={0,1}. Считая непустое слово P записью двоичного числа, получить это же число, но в четверичной системе. (Замечание: учесть, что в двоичном числе может быть нечётное количество цифр.) 1.30 A={0,1,2,3}. Считая непустое слово P записью числа в четверичной системе счисления, получить запись этого числа в двоичной системе A={0,1,2}. Считая непустое слово P записью положительного числа в троичной системе счисления, уменьшить это число на A={ }. Считая слово P записью числа в единичной системе счисления, получить запись этого числа в троичной системе. (Рекомендация: следует в цикле удалять из «единичного» числа по палочке и каждый раз прибавлять 1 к троичному числу, которое вначале положить равным 0.) 1.33 A={0,1,2}. Считая непустое слово P записью числа в троичной системе счисления, получить запись этого числа в единичной системе Пусть слово P имеет следующий вид: {... {... n m где один из знаков +, /, или, слева от которого указано n палочек, а справа m палочек. Реализовать соответствующую операцию в единичной системе счисления (в качестве ответа выдать слово, указанное справа от стрелки): а) сложение: {... + {... {... (n 0, m 0) n m n+ m б) вычитание: {... {... {... (n m 0) n m n m в) умножение: {... {... {... (n 0, m 0) n m n m г) деление нацело: {{... /... {... (n 0, m>0, k=n div m) n m k д) взятие остатка: {... {... {... (n 0, m>0, k=n mod m) n m k 17
18 е) максимум: {... {... {... (n 0, m 0, k=max(n,m)) n m k ж) минимум: {... {... {... (n 0, m 0, k=min(n,m)) k n m 1.35 A={ }. Считая слово P записью числа в единичной системе, определить, является ли это число степенью 3 (1, 3, 9, 27,). Ответ: пустое слово, если является, или слово из одной палочки иначе A={ }. Считая слово P записью числа n в единичной системе, получить в этой же системе число 2 n A={ }. Пусть слово P является записью числа 2 n (n=0, 1, 2,) в единичной системе. Получить в этой же системе число n Пусть P имеет вид Q+R, где Q и R непустые слова из символов 0, 1 и 2. Трактуя Q и R как записи чисел в троичной системе счисления (возможно, с незначащими нулями), выдать в качестве ответа запись суммы этих чисел в той же троичной системе Пусть P имеет вид Q R, где Q и R непустые слова из символов 0, 1 и 2. Трактуя Q и R как записи чисел в троичной системе счисления (возможно, с незначащими нулями) и считая, что Q R, выдать в качестве ответа запись разности этих чисел в той же троичной системе Пусть P имеет вид Q=R, где Q и R любые слова из символов a и b. Выдать ответ a, если слова Q и R одинаковы, и пустое слово иначе Пусть P имеет вид Q=R, где Q и R непустые слова из символов 0 и 1. Трактуя Q и R как записи двоичных чисел (возможно, с незначащими нулями), выдать в качестве ответа слово 1, если эти числа равны, и слово 0 иначе Пусть P имеет вид Q>R, где Q и R непустые слова из символов 0 и 1. Трактуя Q и R как записи двоичных чисел (возможно, с незначащими нулями), выдать в качестве ответа слово 1, если число Q больше числа R, и слово 0 иначе A={(,)}. Определить, сбалансировано ли слово P по круглым скобкам. Ответ: Д (да) или Н (нет) A={a,b}. Если в P символов a больше, чем символов b, то выдать ответ a, если символов a меньше символов b, то выдать ответ b, а иначе в качестве ответа выдать пустое слово. 2. Нормальные алгоритмы Маркова В разделе рассматриваются задачи на составление нормальных алгоритмов Маркова. Приводится краткое описание этих алгоритмов, на примерах объясняются основные приёмы их составления и предлагаются задачи для самостоятельного решения. 18
19 2.1 Краткое описание нормальных алгоритмов Маркова Подстановки Интересной особенностью нормальных алгоритмов Маркова (НАМ) является то, что в них используется лишь одно элементарное действие так называемая подстановка, которая определяется следующим образом. Формулой подстановки называется запись вида α β (читается «α заменить на β»), где α и β любые слова (возможно, и пустые). При этом α называется левой частью формулы, а β правой частью. Сама подстановка (как действие) задается формулой подстановки и применяется к некоторому слову Р. Суть операции сводится к тому, что в слове Р отыскивается часть, совпадающая с левой частью этой формулы (т.е. с α), и она заменяется на правую часть формулы (т.е. на β). При этом остальные части слова Р (слева и справа от α) не меняются. Получившееся слово R называют результатом подстановки. Условно это можно изобразить так: P x α y R x β y Необходимые уточнения: 1. Если левая часть формулы подстановки входит в слово Р, то говорят, что эта формула применима к Р. Но если α не входит в Р, то формула считается неприменимой к Р, и подстановка не выполняется. 2. Если левая часть α входит в Р несколько раз, то на правую часть β, по определению, заменяется только первое вхождение α в Р: P x α y α z R x β y α z 3. Если правая часть формулы подстановки пустое слово, то подстановка α сводится к вычеркиванию части α из Р (отметим попутно, что в формулах подстановки не принято как-либо обозначать пустое слово): P x α y R x y 4. Если в левой части формулы подстановки указано пустое слово, то подстановка β сводится, по определению, к приписыванию β слева к слову P: P x R β x Из этого правила вытекает очень важный факт: формула с пустой левой частью применима к любому слову. Отметим также, что формула с пустыми левой и правой частями не меняет слово. Определение НАМ Нормальным алгоритмом Маркова (НАМ) называется непустой конечный упорядоченный набор формул подстановки: 19
20 α1 β1 α 2 β 2... (k 1) α k β k В этих формулах могут использоваться два вида стрелок: обычная стрелка () и стрелка «с хвостиком» (a). Формула с обычной стрелкой называется обычной формулой, а формула со стрелкой «с хвостиком» заключительной формулой. Разница между ними объясняется чуть ниже. Записать алгоритм в виде НАМ значит предъявить такой набор формул. Правила выполнения НАМ Прежде всего, задается некоторое входное слово Р. Где именно оно записано не важно, в НАМ этот вопрос не оговаривается. Работа НАМ сводится к выполнению последовательности шагов. На каждом шаге входящие в НАМ формулы подстановки просматриваются сверху вниз и выбирается первая из формул, применимых к входному слову Р, т.е. самая верхняя из тех, левая часть которых входит в Р. Далее выполняется подстановка согласно найденной формуле. Получается новое слово Р. На следующем шаге это слово Р берется за исходное и к нему применяется та же самая процедура, т.е. формулы снова просматриваются сверху вниз начиная с самой верхней и ищется первая формула, применимая к слову Р, после чего выполняется соответствующая подстановка и получается новое слово Р. И так далее: Р Р Р Следует обратить особое внимание на тот факт, что на каждом шаге формулы в НАМ всегда просматриваются начиная с самой первой. Необходимые уточнения: 1. Если на очередном шаге была применена обычная формула (α β), то работа НАМ продолжается. 2. Если же на очередном шаге была применена заключительная формула (α a β), то после её применения работа НАМ прекращается. То слово, которое получилось в этот момент, и есть выходное слово, т.е. результат применения НАМ к входному слову. Как видно, разница между обычной и заключительной формулами подстановки проявляется лишь в том, что после применения обычной формулы работа НАМ продолжается, а после заключительной формулы прекращается. 3. Если на очередном шаге к текущему слову неприменима ни одна формула, то и в этом случае работа НАМ прекращается, а выходным словом считается текущее слово. Таким образом, НАМ останавливается по двум причинам: либо была применена заключительная формула, либо ни одна из формул не подошла. То и другое считается «хорошим» окончанием работы НАМ. В обоих случаях говорят, что НАМ применúм к входному слову. 20
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики В.Н. Пильщиков, В.Г. Абрамов, А.А. Вылиток, И.В. Горячая Машина Тьюринга и алгоритмы Маркова.
МАШИНА ТЬЮРИНГА В ИЗУЧЕНИИ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ Лебедева Н.Ю. Шуйский филиал Ивановского государственного университета TURING MACHINE IN THE STUDY OF THE THEORY OF ALGORITHMS Lebedeva N. Yu. Shuya branch
СЛОЖЕНИЕ Прибавить 1 к числу означает получить число, следующее за данным: 4+1=5, 1+1=14 и т.д. Сложить числа 5 и значит прибавить к 5 три раза единицу: 5+1+1+1=5+=8. ВЫЧИТАНИЕ Вычесть 1 из числа означает
Задачи и решения отборочного тура олимпиады ДМиТИ 2014-2015 Все задачи, манипуляторы и решения доступны участникам на сайте олимпиады. Все предложенные задачи оценивались одинаковым числом баллов. Графы.
Машина Тьюринга 1 Машина Тьюринга математическое понятие, а не реальная вычислительная машина. MT является математической моделью вычислительного устройства. MT была предложена Аланом Тьюрингом в 1936
Решение задач по машине тьюринга онлайн >>> Решение задач по машине тьюринга онлайн Решение задач по машине тьюринга онлайн Содержимое клетки может меняться в неё можно записать другой символ или стереть
Системы счисления В наше время человек всё время сталкивается с числами. Все мы с детства знакомы с общепринятой записью чисел при помощи арабских цифр. Однако этот способ записи использовался далеко не
Реализуемый алгоритм Мы используем следующую вариацию алгоритма Евклида для вычисления НОД чисел M и N:. a M, b N; 2. t a-b, если t = 0, останов; 3. a t, b min{a,b}, переход на шаг 2. После останова НОД(M,N)
Задачи отборочного тура Олимпиады по дискретной математике и теоретической информатике с решениями (при решении конструктивных задач участник работает с эмуляторами, в решениях приведены картинки их интерфейсов)
Глава B. Компьютерная арифметика Урок B3. Двоичная арифметика Посмотрим, как вы справились с упражнениями из Урока B2. Вот их решения. Упражнения B2-2 a) Таблица размещения гирь выглядит так: в нумерации
Занятие 23 В условиях задач M, x означают соответственно описание машины Тьюринга и входного слова в том формате, который был введён на лекции (и написан в черновике учебника). Задача 23.1. Докажите, что
Раздел 6. Теория алгоритмов. Неформальное понятие алгоритма, его основные черты и свойства. Алфавит, слова, алгоритм в алфавите. Вполне эквивалентные алгоритмы. Определение нормального алгоритма (алгоритма
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы
Задания для 11 класса Отборочный этап. Первый тур 1. Кодирование информации. Системы счисления (2 балла) [Перестановки] Сколько существует трехразрядных шестнадцатеричных чисел, для которых будут одновременно
Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере» Типы задач: 1. Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой. 2. Дробные числа. Представление чисел в формате с плавающей запятой.
1. Рыцари и лжецы. Логическая схема - 1. Задачи и решения очного тура Олимпиады ДмиТИ-2017-2018 За круглым столом сидят четыре человека. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят только
Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр). В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления, в которых значение цифры
ЛЕКЦИЯ 3. Алгоритмы обработки одномерных массивов. Цель лекции: Знакомство с понятием массива. Приобретение навыков построения алгоритмов предназначенных для обработки одномерных массивов. 6. Алгоритмы
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 г. задание 6 На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом. 1) Строится двоичная запись числа N. 2) К этой записи
Введение в системы счисления А.А. Вылиток Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных
Часть III Языки, грамматики, автоматы 137 Глава 10 Языки и конечные автоматы 10.1 Язык Дика Как мы знаем, правильные скобочные структуры перечисляются числами Каталана. Выпишем все правильные скобочные
Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по информатике Москва, декабря 0 г. Задания для 7 8 классов Каждая задача оценивается в 0 баллов. Итоговый балл выставляется как сумма баллов за задачи
Виртуальные машины Введение Свыше сорока лот назад выдающийся американский математик Эмиль Л. Пост опубликовал в «Журнале символической логики» статью «Финитные комбинаторные процессы, формулировка!» (ее
Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,
9 КЛАСС 1. В одной из клеток бесконечной клетчатой бумаги находится робот, которому могут быть отданы следующие команды: вверх (робот перемещается на соседнюю клетку сверху); вниз (робот перемещается на
Системы счисления Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах вес
Системы счисления Система счисления способ описания чисел с помощью знаков определенного алфавита по известным правилам. Позиционные системы счисления В позиционной системе счисления значение цифры зависит
К. Поляков, 009-06 6- (базовый уровень, время 4 мин) Тема: Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя. Что нужно знать: исполнитель это человек, группа людей, животное, машина или другой объект,
Лекция 5 Основы представления информации в цифровых автоматах Позиционные системы счисления Системой счисления называется совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная
Элементы теории сложности Машина Тьюринга Алан Тьюринг (23.06.1912-7.06.1954) (Alan Mathison Turing) Английский математик, логик, криптограф. В 1936 году предложил абстрактную вычислительную «Машина Тьюринга»,
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение профессионального образования Российской Федерации «Ростовский государственный университет» М. Э. Абрамян
10 КЛАСС 1. Действительные числа удовлетворяют соотношениям: Найдите все возможные тройки чисел, где Решение. Заметим, что Обозначим и Вычитая друг из друга эти равенства, получим Предположим, что все
Приложение к статье Горбунов К.Ю., Любецкий В.А. «Линейный алгоритм минимальной перестройки структур» Доказательство леммы 3. Жестким назовём блок, ограниченный с обеих сторон общими генами, полужёстким
Приложение 1 Практикум к главе 2 «Представление информации в компьютере» Практическая работа к п. 2.1 Пример 2.1. Представьте в виде разложения по степеням основания числа 2466,675 10, 1011,11 2. Для десятичного
Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика
Задачник по информатике ученика (цы) 11 физико-математического класса средней школы 36 г.владимира Часть II 2016-2017 г. 2 1. Алгоритмизация. 1.1 Предлагается некоторая операция над двумя произвольными
Тема 7. Представление информации в ЭВМ.. Единицы информации. Бит - (bit-biry digit - двоичный разряд) наименьшая единица информации - количество её, необходимое для различения двух равновероятных событий.
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Десятичная запись 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................
Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров
Глава 5 Элементы теории алгоритмов 31 Уточнение понятия алгоритма Ключевые слова: алгоритм теория алгоритмов универсальный исполнитель машина Тьюринга машина Поста нормальный алгорифм Маркова Зачем нужно
Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере». Типы задач. 1. Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой. 2. Дробные числа. Представление чисел в формате с плавающей
А. Шень Игры и стратегии с точки зрения математики, МЦНМО Простые игры и классификация позиций На столе лежит 12 спичек. Играющие по очереди могут взять от одной до трёх спичек. Кто не может сделать ход
Теория алгоритмов 79 3.2. Нормальные алгоритмы j Пусть A алфавит, не содержащий символов. и. Обыкновенной формулой подстановок называется запись вида P Q, где P и Q некоторые слова в алфавите A. Заключительной
ЛЕКЦИЯ 2. Алгоритмы циклической структуры. Цель лекции: Знакомство с понятием алгоритма циклической струк туры. Приобретение навыков построения алгоритмов циклической с трук т уры. 5. Алгоритмы циклической
Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 2010 УДК 511+512 ББК 22 Ч345 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн.
Практическая работа. Формы представления числовой информации на компьютере. Часть I. Системы счисления. Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита
Московский физико-технический институт Факультет инноваций и высоких технологий Математическая логика и теория алгоритмов, осень 2018 Семинар 1: язык записи формальных утверждений, с решениями некоторых
Лекция 16. Универсальная машина Тьюринга Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Важнейшим свойством вычислимых функций является существование универсальной вычислимой
16 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем, 15, из системы
2015 Регулярные выражения Решения задач отборочного тура (два варианта) Вариант 1 Постройте регулярное выражение, описывающее множество слов из букв a и b, из которого удалены все слова, задаваемые регулярным
