Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био - Савара-Лапласа (см. (110.2)), пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току I в контуре:
Ф= LI , (126.1)
где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.
При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.
Из выражения (126.1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн - индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:
1 Гн=1 Вб/А=1В с/А.
Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Согласно (120.4), полный магнитный поток через соленоид
(потокосцепление) равен 0(N 2 I/l )S. Подставив это выражение в формулу (126.1), получим
т. е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N, его длины l , площади S и магнитной проницаемости вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида.
Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура - аналог электрической емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды (см. §93).
Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея (см. (123.2)), получим, что э.д.с. самоиндукции
Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется (в дальнейшем будет показано, что последнее условие выполняется не всегда), то L =const и
где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.
Если ток со временем возрастает, то
dI/dt>0 и ξ s <0, т. е. ток самоиндукции
направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и тормозит его возрастание. Если ток со временем убыва-
ет, то dI/dt<0 и ξ s > 0, т. е. индукционный
ток имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.
При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток
I 0 =ξ/R
(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).
В момент времени t= 0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξ s =-LdI/dt , препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξ s /R, или
IR =- LdI/dt . (127.1)
Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I =- (R/L)dt. Интегрируя
это уравнение по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I 0)=-Rt/L, или
где =L/R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции
ξ s =-LdI/dt , препятствующая, согласно
правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR=ξ+ξ s , или
IR =ξ-LdI/dt .
Введя новую переменную u=IR-ξ, преобразуем это уравнение к виду du/u=-dt/ ,
где 1 - время релаксации.
В момент замыкания (t=0) сила тока I =0 и u = -ξ . Следовательно, интегрируя по и (от -ξ до IR - ξ ) и t (от 0 до t).
находим ln(IR -ξ)/-ξ=-t/ , или
где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t)
Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I =0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 =ξ/R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации =L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.
Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξ s , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 =ξ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I 0 и , получим
Э.д.с. самоиндукции
т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R 0 >> 1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.
При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток
I 0 =ξ/R
(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).
В момент времени t= 0отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξ s =-LdI/dt, препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξ s /R, или
IR=-LdI/dt. (127.1)
Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I =-(R/L)dt. Интегрируя
это уравнение по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I 0)=-Rt/L, или
где t=L/R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции
ξ s =-LdI/dt, препятствующая, согласно
правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR=ξ+ξ s , или
IR =ξ-LdI/dt .
Введя новую переменную u=IR-ξ, преобразуем это уравнение к виду du/u=-dt/t,
где 1 - время релаксации.
В момент замыкания (t=0) сила тока I =0 и u=-ξ. Следовательно, интегрируя по и (от -ξ до IR - ξ) и t (от 0 до t).
находим ln(IR -ξ)/-ξ=-t/t, или
где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t®¥)
Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2
на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I
=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I
0 =ξ/R.
Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t=L/R,
что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.
Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξ s , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 =ξ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I 0 и t, получим
Э.д.с. самоиндукции
т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R 0 >> 1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.
Взаимная индукция
Рассмотрим два неподвижных контура (1 к 2),
расположенных достаточно близко друг от друга (рис. 184). Если в контуре 1
течет ток I
1 ,
то магнитный поток, создаваемый этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными линиями), пропорционален I
1 . Обоз 
начим через Ф 21 ту часть потока, которая пронизывает контур 2.
Тогда
Ф 21 =L 21 /I 1 , (128.1)
где L 21 - коэффициент пропорциональности.
Если ток I 1 изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. ξ i 2 , которая по закону Фарадея (см. (123.2)) равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 21 , созданного током в первом контуре и пронизывающего второй:
Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I 2 магнитный поток (его поле изображено на рис. 184 штриховой линией) пронизывает первый контур. Если Ф 12 - часть этого потока, пронизывающего контур 1 , то
Ф 12 =L 12 I 2 .
Если ток I 2 изменяется, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. ξ i 1 , которая равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 12 , созданного током во втором контуре и пронизывающего первый:
Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L 21 и L 12 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что l 21 и L 12 равны друг другу, т. е.
L I 2 = L 2 I . (128.2)
Коэффициенты L
12 и L
21 зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности,- генри (Гн).
Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 185). Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой с числом витков N 1 , током I 1 и магнитной проницаемостью m, сердечника, согласно (119.2),
B=m 0 mN 1 I 1 /l, где l - длина сердечника
по средней линии. Магнитный поток через один виток второй катушки Ф 2 =BS=m 0 m(N 1 I 1 /l )S Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содержащую N2 витков,
Поток yсоздается током I 1 , поэтому, согласно (128.1), получаем
Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой 2 сквозь катушку 1 , то для L 12 получим выражение в соответствии с формулой (128.3). Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник,
Трансформаторы
Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Впервые трансформаторы были сконструированы и введены в практику русским электротехником П. Н. Яблочковым (1847-1894) и русским физиком И. Ф. Усагиным (1855-1919). Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 186.
Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно n
1 и N
2 витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Так как концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения с э.д.с. ξ 1 ,
то в ней возникает переменный ток I
1 ,
создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в железном сердечнике и, следовательно, почти целиком пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление э.д.с. взаимной индукции, а в первичной - э.д.с. самоиндукции.
Ток I 1 первичной обмотки определяется согласно закону Ома:
где R 1 - сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I 1 R 1 на сопротивлении R 1 при быстропеременных полях мало по сравнению с каждой из двух э.д.с., поэтому
Э.д.с. взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,
Сравнивая выражения (129.1) и (129.2), получим, что э.д.с. , возникающая во вторичной обмотке,
где знак минус показывает, что э.д.с. в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе.
Отношение числа витков N 2 /N 1 , показывающее, во сколько раз э.д.с. во вторичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, называется коэффициентом трансформации.
Пренебрегая потерями энергии, которые в современных трансформаторах не превышают 2 % и связаны в основном с выделением в обмотках джоулевой теплоты и появлением вихревых токов, и применяя закон сохранения энергии, можем записать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практически одинаковы:
ξ 2 I 2 »ξ 1 I 1 , откуда, учитывая соотношение (129.3), найдем
ξ 2 /ξ 1 =I 1 /I 2 = N 2 /N 1 ,
т. е. токи в обмотках обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках.
Если N 2 /N 1 >1, то имеем дело с повышающим трансформатором, увеличивающим переменную э.д.с. и понижающим ток (применяются, например, для передачи электроэнергии на большие расстояния, так как в данном случае потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квадрату силы тока, снижаются); если N 2 /N 1 <1, то имеем дело с понижающим трансформатором, уменьшающим э.д.с. и повышающим ток (применяются, например, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении).
Мы рассматривали трансформаторы, имеющие только две обмотки. Однако
трансформаторы, используемые в радиоустройствах, имеют 4-5 обмоток, обладающих разными рабочими напряжениями. Трансформатор, состоящий из одной обмотки, называется автотрансформатором. В случае повышающего автотрансформатора э.д.с. подводится к части обмотки, а вторичная э.д.с. снимается со всей обмотки. В понижающем автотрансформаторе напряжение сети подается на всю обмотку, а вторичная э.д.с. снимается с части обмотки.
При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток
I 0 =ξ/R
(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).
В момент времени t= 0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξ s =-LdI/dt, препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξ s /R, или
IR=-LdI/dt. (127.1)
Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I =-(R/L)dt. Интегрируя
это уравнение по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I 0)=-Rt/L, или
где t=L/R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции
ξ s =-LdI/dt, препятствующая, согласно
правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR=ξ+ξ s , или
IR =ξ-LdI/dt .
Введя новую переменную u=IR-ξ, преобразуем это уравнение к виду du/u=-dt/t,
где 1 - время релаксации.
В момент замыкания (t=0) сила тока I =0 и u=-ξ. Следовательно, интегрируя по и (от -ξ до IR - ξ) и t (от 0 до t).
находим ln(IR -ξ)/-ξ=-t/t, или
где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t®¥)
Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I =0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 =ξ/R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t=L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.
Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξ s , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 =ξ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I 0 и t, получим
Э.д.с. самоиндукции
т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R 0 >> 1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.
При любом изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, после чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, по правилу Ленца, всегда имеют такое направление, чтобы оказывать сопротивление изменениям тока в цепи, т. е. имеет направление, противоположное току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки так же направлены, как и ослабевающий ток. Значит, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи. Исследуем процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ , катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток I 0 = ξ/R. В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет убывать, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающей препятствие, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи задается законом Ома I= ξs/R, или IR=-LdI/dt(1) Разделив в формуле (1) переменные, получим (dI/I) = -(R/L)dt . Интегрируя эту формулу по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), найдем ln (I/I0) = –Rt/L, или I=I 0 e - t /τ (2) где τ = L/R - постоянная, которая называется временем релаксации. Из (2) видно, что τ есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Значит, в процессе отключения источника тока сила тока уменьшается по экспоненциальному закону (2) и задается кривой 1 на рис. 1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, значит, тем медленнее убывает ток в цепи при ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. ξ возникает э. д. с. самоиндукции ξ s = -L(dI/dt) оказывающая препятствие, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = ξ+ξ s или IR=ξ - LdI/dt
Зададим переменную u = (IR - ξ) преобразуем эту формулу как du/u=-dt/τ где τ - время релаксации. В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и u = –ξ . Значит, интегрируя по u и (от –ξ до IR–ξ) и t (от 0 до t), найдем ln[(IR–ξ)]/(–ξ) = -t/τ, или I=I 0 (1-e - t /τ)(3) где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t→∞)
Значит, в процессе включения источника тока увеличение силы тока в цепи определяется функцией (3) и кривой 2 на рис. 1. Сила тока увеличивается от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I0=ξ/R . При этом, скорость нарастания тока задается тем же временем релаксации τ = L/R, что и убывание тока. Установление тока осуществляется тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и чем больше ее сопротивление. Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξs , которая возникает при мгновенном нарастании сопротивления цепи постоянного тока от R0 до R. Допустим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I0=ξ/R . При размыкании цепи ток будет менеться по формуле (2). Подставив в нее формулу для I0 и τ, найдем I=ξe - Rt / L /R 0. Э.д.с. самоиндукции ξ=-L(dI/dt)=Re - Rt / L /R 0 т.е. при значительном возрастании сопротивления цепи (R/R0>>1), которая обладает большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз быть больше э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Значит, необходимо учитывать, что контур, который содержит индуктивность, нельзя резко размыкать, так как при этом (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и поломке измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции больших значений не достигнет.
Энергия и плотность энергии магнитного поля.
Проводник, c протекающим по нему электрическим ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле исчезает и появляется вместе с исчезновением и появлением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Логично предположить, что энергия магнитного поля совпадает с работой, затрачиваемой током на создание этого поля. Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому протекает ток I. С этим контуром сцеплен магнитный поток Ф=LI, поскольку индуктивность контура неизменна, то при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ=LdI. Но для изменения магнитного потока на величину dФ следует совершить работу dА=IdФ=LIdI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф равна A=∫ 0 I LIdI=LI 2 /2. Значит, энергия магнитного поля, которое связано с контуром, W= LI 2 /2.(1) Энергию магнитного поля можно рассматривать как функцию величин, которые характеризуют это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай - однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (1) формулу индуктивности соленоида, найдем W=μ 0 μN 2 I 2 S/2l. Так как I=Bl/(μ 0 μN) и В=μ 0 μH , то W=B 2 V/2μ 0 μ=BHV/2(2), где Sl = V - объем соленоида
Магнитное поле внутри соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (2) заключена в объеме соленоида и имеет с ним однородное распределение с постоянной объемной плотностью ω=W/V=B 2 /2μ 0 μ= μ 0 μH 2 /2=BH/2(3). Формула (3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный выражению для объемной плотности энергии электростатического поля, с тем отличием, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (3) выводилась для однородного поля, но она верна и для неоднородных полей. Формула (3) справедлива только для сред, для которых линейная зависимость В от Н, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам.
Общая характеристика теории Максвелла для электромагнитного поля. Вихревое электрическое поле, первое уравнение Максвелла. Ток смещения, второе уравнение Максвелла. Полная система уравнений Максвелла. Относительность электрических и магнитных полей.
При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции . Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т.е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. E i , сопротивление R и индуктивность L . Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток I o =E/R (внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).
В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности начнет уменьшаться, что приведет к возникновению эдс самоиндукции E s = –L (dI /dt ), препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I =E s /R , или
IR =–L (dI /dt ). (18.1)
Разделив переменные, получим dI /I = – R dt /L . Интегрируя это уравнение по I (от I o до I ) и t (от 0 до t ), находим ln(I /I o) = – Rt /L , или
I (t ) =I o exp (– t /τ ), (18.2)
где τ =L /R – постоянная, называемая временем релаксации, равная времени, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (18.2) и определяется кривой 1 на рис. (19). Чем больше индуктивность цепи и меньше сопротивление, тем больше τ и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней э.д.с E возникает э.д.с самоиндукции E s = –L (dI /dt ), препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома IR = E + E s или
IR = E –L (dI /dt ). Введя новую переменную u = IR – E, преобразу- Рис.19. ем это уравнение к виду du /u = – dt /τ , где τ – время релаксации.
В момент замыкания (t = 0) сила тока I =0 и u = –E. Следовательно, интегрируя по u (от –E до IR –E) и t (от 0 до t ), находим ln[(IR –E)/(–E)] = –t /τ , или
I (t )=I o , (18.3)
где I o = E/R – установившийся ток (при t → ¥).
Таким образом, в процессе включения источника э.д.с нарастание силы тока в цепи задается функцией (18.3) и определяется кривой 2 на рис.19. Сила тока возрастает от начального значения I =0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I o = E/R . Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации τ =L /R , что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.
Трансформаторы.
Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Первые трансформаторы были сконструированы и введены в практику русским электротехником П.Н.Яблочковым (1847 – 1894) и русским физиком И.Ф.Усагиным (1855 – 1919). Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 20.
Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно n
1 и n
2 витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Так как концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения с э.д.с. E 1 , то в ней возникает переменный ток создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в
железном сердечнике и, следовательно, почти целиком
пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление э.д.с. электромагнитной индукции, а в первичной – э.д.с. самоиндукции .
По закону Ома, ток I 1 , первичной обмотки определяется алгебраической суммой внешней э.д.с. и э.д.с. самоиндукции: I 1 R 1 =, где R 1 – сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I 1 R 1 на сопротивлении R 1 , при быстропеременных полях мало по сравнению с каждой из двух э.д.с., поэтому E 1 »n 1 dФ/dt .
Э.д.с. электромагнитной индукции, возникающая во вторичной обмотке,
E 2 = –[(dn 2 Ф)/dt ] = – n 2 (dФ/dt ). (19.1)
Сравнивая выражения для E 1 и E 2 , получим, что э.д.с., возникающая во вторичной обмотке,
E 2 = –(n 2 /n 1) E 1 , (19.2)
где знак минус показывает, что э.д.с. в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе. Отношение числа витков n 1 /n 2 показывающее, во сколько раз э.д.с. во вторичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, называется коэффициентом трансформации .
Пренебрегая потерями энергии, которые в современных трансформаторах не превышают 2% и связаны в основном с выделением в обмотках джоулевой теплоты и появлением вихревых токов, и применяя закон сохранения энергии, можем записать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практически одинаковы:
E 2 I 2 ≈ E 1 I 1 , (19.3)
откуда, учитывая соотношение (19.2), найдем E 2 /E 1 = I 1 /I 2 = n 2 /n 1 , т.е. токи в обмотках трансформатора обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках .
Если n 2 /n 1 >1, то имеем дело с повышающим трансформатором , увеличивающим переменную э.д.с. и понижающим ток (применяется, например, для передачи электроэнергии на большие расстояния, так как в данном случае потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квадрату силы тока, снижаются). Если n 2 /n 1 <1, то имеем дело с понижающим трансформатором , уменьшающим э.д.с. и повышающим ток (применяется, например, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении).
Трансформаторы, используемые в радиотехнике, имеют 4–5 обмоток, обладающих разными рабочими напряжениями. Трансформатор, состоящий из одной обмотки, называется автотрансформатором . В случае повышающего автотрансформатора э.д.с. подводится к части обмотки, а вторичная э.д.с. снимается со всей обмотки. В понижающем автотрансформаторе напряжение сети подается на всю обмотку, а вторичная э.д.с. снимается с части обмотки.
