Задач линейного программирования. Он в последовательном построении , характеризующей рассматриваемый процесс. Решение разбивается на три основных этапа: выбор переменных, построение системы ограничений и поиск целевой функции.
Исходя из этого разделения, условие задачи можно перефразировать следующим образом: экстремум целевой функции Z(X) = f(x1, x2, … ,xn) → max (min) и соответствующие переменные, если известно, что они удовлетворяют системе ограничений: Φ_i (x1, x2, … ,xn) = 0 при i = 1, 2, …, k;Φ_i (x1, x2, … ,xn)) 0 при i = k+1, k+2, …, m.
Систему ограничений нужно привести к каноническому виду, т.е. к системе линейных уравнений, где число переменных больше числа уравнений (m > k). В этой системе обязательно найдутся переменные, которые можно выразить через другие переменные, а если это не так, то их можно ввести искусственно. В этом случае первые называются базисом или искусственным базисом, а вторые – свободными.
Удобнее рассмотреть симплекс-метод на конкретном примере. Пусть дана линейная функция f(x) = 6x1 + 5x2 + 9x3 и система ограничений:5x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 25;x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 20;4x1 + 3x3 ≤ 18.Требуется найти максимальное значение функции f(x).
РешениеНа первом этапе задайте начальное (опорное) решение системы уравнений абсолютно произвольным образом, которое при этом должно удовлетворять данной системе ограничений. В данном случае требуется введение искусственного , т.е. базисных переменных x4, x5 и x6 следующим образом:5x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 25;x1 + 6x2 + 2x3 + x5 = 20;4x1 + 3x3 + x6 = 18.
Как видите, неравенства преобразовались в равенства благодаря добавленным переменные x4, x5, x6, которые являются неотрицательными величинами. Таким образом, вы привели систему к каноническому виду. Переменная x4 входит в первое уравнение с коэффициентом 1, а в два – с коэффициентом 0, то же справедливо для переменных x5, x6 и соответствующих уравнений, что соответствует определению базиса.
Вы подготовили систему и нашли начальное опорное решение – X0 = (0, 0, 0, 25, 20, 18). Теперь представьте коэффициенты переменных и свободные члены уравнений (цифры справа от знака «=») в виде таблицы для оптимизации дальнейших вычислений (см. рис).
Суть симплекс-метода состоит в том, чтобы привести эту таблицу к такому виду, в котором все цифры в строке L будут неотрицательными величинами. Если же выяснится, что это невозможно, то система вообще не имеет оптимального решения. Для начала выберите самый минимальный элемент этой строки, это -9. Цифра стоит в третьем столбце. Преобразуйте соответствующую переменную x3 в базисную. Для этого разделите строку на 3, чтобы в ячейке получилась 1.
Теперь нужно, чтобы ячейки и обратились в 0. Для этого отнимите от соответствующие цифры третьей строки, на 3. От элементов второй строки - элементы третьей, умноженные на 2. И, наконец, от элементов строки L - умноженные на (-9). Вы получили второе опорное решение: f(x) = L = 54 при x1 = (0, 0, 6, 7, 8, 0).
Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума ) линейного программирования называется . Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования. Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода .
Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи , которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.
Предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3-х станках.
Нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:
Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:
Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:
Составить такой план производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.
(1) Обозначим X1, X2, X3, X4 планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: (X1, X2, X3, X4 )
(2) Запишем ограничения плана в виде системы уравнений:
(3) Тогда целевая прибыль:
То есть прибыль от выполнения производственного плана должна быть максимальной.
(4) Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X5, X6, X7 ).
(5) Примем следующий опорный план :
X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80
(6) Занесем данные в симплекс-таблицу :
В последнюю строку заносим коэффициенты при целевой функции и само ее значение с обратным знаком;
(7) Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю ) отрицательное число.
Вычислим b = Н / Элементы_выбранного_столбца
Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее .
Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент. Меняем базис на переменную соответствующую разрешающему элементу (X5 на X1 ).
a ij (*) = a ij – (A * B / РЭ)
Как видите, мы берем текущую пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника. Это произведение (A * B ) делим на разрешающий элемент (РЭ ). И вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (a ij ) то, что получилось. Получаем новое значение - a ij (*) .
(9) Вновь проверяем последнюю строку (c ) на наличие отрицательных чисел . Если их нет – оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи. Если есть – план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.
Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию вычислений.
(10) Так как в последней строке нет отрицательных элементов, это означает, что нами найден оптимальный план производства! А именно: выпускать мы будем те изделия, которые перешли в колонку «Базис» - X1 и X2. Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C ). Осталось перемножить найденные объемы выпуска изделий 1 и 2 с прибылью на 1 шт., получим итоговую (максимальную! ) прибыль при данном плане производства.
ОТВЕТ:
X1 = 32 шт., X2 = 20 шт., X3 = 0 шт., X4 = 0 шт.
P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2 196 руб.
Галяутдинов Р.Р.
© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на
Краткая теория
Для решения задач линейного программирования предложено немало различных методов. Однако наиболее эффективным и универсальным среди них оказался симплекс-метод. При этом следует отметить, что при решении некоторых задач могут оказаться более эффективными другие методы. Например, при ЗЛП с двумя переменными оптимальным является , а при решении - метод потенциалов. Симплекс-метод является основным и применимым к любой ЗПЛ в канонической форме.
В связи с основной теоремой линейного программирования естественно возникает мысль о следующем пути решения ЗЛП с любым числом переменных. Найти каким-нибудь способом все крайние точки многогранника планов (их не больше, чем ) и сравнить в них значения целевой функции. Такой путь решения даже с относительно небольшим числом переменных и ограничений практически неосуществим, так как процесс отыскания крайних точек сравним по трудности с решением исходной задачи, к тому же число крайних точек многогранника планов может оказаться весьма большим. В связи с этими трудностями возникла задача рационального перебора крайних точек.
Суть симплексного метода в следующем. Если известны какая-нибудь крайняя точка и значение в ней целевой функции, то все крайние точки, в которых целевая функция принимает худшее значение, заведомо не нужны. Отсюда естественно стремление найти способ перехода от данной крайней точки к смежной по ребру лучшей, от нее к еще лучшей (не худшей) и т. д. Для этого нужно иметь признак того, что лучших крайних точек, чем данная крайняя точка, вообще нет. В этом и состоит общая идея наиболее широко применяемого в настоящее время симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП. Итак, в алгебраических терминах симплексный метод предполагает:
Пример решения задачи
Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве , , , единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве единиц, ресурса второго вида в количестве единиц, ресурса третьего вида в количестве единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве , единиц, ресурсов второго вида в количестве , единиц, ресурсов третьего вида в количестве , единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно , , тыс. руб.
Если ваш допуск к сессии зависит от решения блока задач, а у вас нет ни времени, ни желания садиться за расчёты – используйте возможности сайта сайт. Заказ задач – дело нескольких минут. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить решение задач по линейному программированию...
Через обозначим товарооборот 1-го, 2-го и третьего вида товаров соответственно.
Тогда целевая функция, выражающая получаемую прибыль:
Ограничения по материально-денежным ресурсам:
Кроме того, по смыслу задачи
Получаем следующую задачу линейного программирования:
Приведем задачу к каноническому виду. Для преобразования неравенств в равенства введем дополнительные переменные . Переменные входят в ограничения с коэффициентом 1. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю.
Ограничение имеет предпочтительный вид, если при неотрицательности правой части левая часть имеет переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а остальные ограничения-равенства - с коэффициентом, равным нулю. В нашем случае 1-е, 2-е, 3-е ограничения имеют предпочтительный вид с соответствующими базисными переменными .
Заполняем симплексную таблицу 0-й итерации.
| БП |
Симплексные отношения |
8 | 6 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 520 | 16 | 18 | 9 | 1 | 0 | 0 | 65/2 | 0 | 140 | 7 | 7 | 2 | 0 | 1 | 0 | 20 | 0 | 810 | 9 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 90 | 0 | -8 | -6 | -4 | 0 | 0 | 0 |
Так как мы решаем задачу на максимум – наличие в индексной строке отрицательных чисел при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено и что от таблицы 0-й итерации необходимо перейти к следующей.
Переход к следующей итерации осуществляем следующим образом:
Ведущий столбец соответствует .
Ключевая строка определяется по минимуму соотношений свободных членов и членов ведущего столбца (симплексных отношений):
На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е.7.
Теперь приступаем к составлению 1-й итерации. Вместо единичного вектора вводим вектор .
В новой таблице на месте разрешающего элемента пишем 1, все остальные элементы ключевого столбца –нули. Элементы ключевой строки делятся на разрешающий элемент. Все остальные элементы таблицы вычисляются по правилу прямоугольника.
Получаем таблицу 1-й итерации:
| БП |
Симплексные отношения |
8 | 6 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 200 | 0 | 2 | 31/7 | 1 | -16/7 | 0 | 1400/31 | 8 | 20 | 1 | 1 | 2/7 | 0 | 1/7 | 0 | 70 | 0 | 630 | 0 | -7 | -11/7 | 0 | -9/7 | 1 | - | 160 | 0 | 2 | -12/7 | 0 | 8/7 | 0 |
Ключевой столбец для 1-й итерации соответствует .
Находим ключевую строку, для этого определяем:
На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е. 31/7.
Вектор выводим из базиса и вводим вектор .
Получаем таблицу 2-й итерации:
| БП |
Симплексные отношения |
8 | 6 | 4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 1400/31 | 0 | 14/31 | 1 | 7/31 | -16/31 | 0 | 8 | 220/31 | 1 | 27/31 | 0 | -2/31 | 9/31 | 0 | 0 | 21730/31 | 0 | -195/31 | 0 | 11/31 | -65/31 | 1 | 7360/31 | 0 | 86/31 | 0 | 12/31 | 8/31 | 0 |
В индексной строке все члены неотрицательные, поэтому получено следующее решение задачи линейного программирования (выписываем из столбца свободных членов):
Таким образом, необходимо продавать 7,1 тыс.р. товара 1-го вида и 45,2 тыс.р. товара 3-го вида. Товар 2-го вида продавать невыгодно. При этом прибыль будет максимальна и составит 237,4 тыс.р. При реализации оптимального плана остаток ресурса 3-го вида составит 701 ед.
Запишем модель двойственной задачи.
Для построения двойственной задачи необходимо пользоваться следующими правилами:
1) если прямая задача решается на максимум, то двойственная - на минимум, и наоборот;
2) в задаче на максимум ограничения-неравенства имеют смысл ≤, а в задаче минимизации - смысл ≥;
3) каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, и наоборот, каждому ограничению двойственной задачи соответствует переменная прямой задачи;
4) матрица системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы системы ограничений исходной задачи транспонированием;
5) свободные члены системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи, и наоборот;
6) если на переменную прямой задачи наложено условие неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение-неравенство, если же нет, то как ограничение-равенство;
7) если какое-либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на соответствующую переменную двойственной задачи условие неотрицательности не налагается.
Транспонируем матрицу исходной задачи:
Приведем задачу к каноническому виду. Введем дополнительные переменные. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю. Дополнительные переменные прибавим к левым частям ограничений, не имеющих предпочтительного вида, и получим равенства.
Соответствие между переменными исходной и двойственной задачи:
На основании симплексной таблицы получено следующее решение двойственной задачи линейного программирования (выписываем из нижней строки):
Таким образом, наиболее дефицитным
является ресурс первого вида. Его оценка максимальна и равна
. Ресурс третьего вида является избыточным -его
двойственная оценка равна нулю
. Каждая дополнительно проданная единица товара 2-й
группы будет снижать оптимальную прибыль на
Рассмотрен графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП) с двумя переменными. На примере задачи приведено подробное описание построения чертежа и нахождения решения.
Решение транспортной задачи
Подробно рассмотрена транспортная задача, ее математическая модель и методы решения - нахождение опорного плана методом минимального элемента и поиск оптимального решения методом потенциалов.
Принятие решений в условиях неопределенности
Рассмотрено решение статистической матричной игры в условиях неопределенности с помощью критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, Байеса. На примере задачи подробно показано построение платежной матрицы и матрицы рисков.
Лекция 3. Симплексные таблицы. Алгоритм симплексного метода.
§ 3 СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД
3.1. Общая идея симплекс–метода. Геометрическая интерпретация
Графический способ применим к весьма узкому классу задач линейного программирования: эффективно им можно решать задачи, содержащие не более двух переменных. Были рассмотрены основные теоремы линейного программирования, из которых следует, что если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает, по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений системы ограничений. Был указан путь решения любой задачи линейного программирования: перебрать конечное число допустимых базисных решений системы ограничений и выбрать среди них то, на котором функция цели принимает оптимальное решение. Геометрически это соответствует перебору всех угловых точек многогранника решений. Такой перебор в конце концов приведет к оптимальному решению (если оно существует), однако его практическое осуществление связано с огромными трудностями, так как для реальных задач число допустимых базисных решений хотя и конечно, но может быть чрезвычайно велико.
Число перебираемых
допустимых базисных решений можно
сократить, если производить перебор не
беспорядочно, а с учетом изменений
линейной функции, т.е. добиваясь того,
чтобы каждое следующее решение было
"лучше" (или, по крайней мере, "не
хуже"), чем предыдущее, по значениям
линейной функции (увеличение ее при
отыскании максимума
,
уменьшение–
при отыскании минимума
).
Такой
перебор позволяет сократить число шагов
при отыскании оптимума. Поясним это
на графическом примере.
Пусть область допустимых решений изображается многоугольником ABCDE . Предположим, что его угловая точка А соответствует исходному допустимому базисному решению. При беспорядочном переборе пришлось бы испытать пять допустимых базисных решений, соответствующих пяти угловым точкам многоугольника. Однако из чертежа видно, что после вершины А выгодно перейти к соседней вершине В, а затем – к оптимальной точке С. Вместо пяти перебрали только три вершины, последовательно улучшая линейную функцию.
Идея последовательного улучшения решения легла в основу универсального метода решения задач линейного программирования – симплексного метода или метода последовательного улучшения плана.
Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к соседней, в которой линейная функция принимает лучшее (по крайней мере, не худшее) значение по отношению к цели задачи; до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение – вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум).
Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 г., однако еще в 1939 г. идеи метода были разработаны российским ученым Л.В. Канторовичем.
Симплексный метод, позволяющий решить любую задачу линейного программирования, универсален. В настоящее время он используется для компьютерных расчетов, однако несложные примеры с применением симплексного метода можно решать и вручную.
Для реализации симплексного метода – последовательного улучшения решения – необходимо освоить три основных элемента:
способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи;
правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;
критерий проверки оптимальности найденного решения.
Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений.
В литературе достаточно подробно описываются: нахождение начального опорного плана (первоначального допустимого базисного решения), тоже – методом искусственного базиса, нахождение оптимального опорного плана, решение задач с помощью симплексных таблиц.
3.2. Алгоритм симплекс–метода.
Рассмотрим решение ЗЛП симплекс-методом и изложим ее применительно к задаче максимизации.
1. По условию задачи составляется ее математическая модель.
2. Составленная модель преобразовывается к канонической форме. При этом может выделиться базис с начальным опорным планом.
3. Каноническая модель задачи записывается в форме симплекс-таблицы так, чтобы все свободные члены были неотрицательными. Если начальный опорный план выделен, то переходят к пункту 5.
Симплекс
таблица: вписывается система ограничительных
уравнений и целевая функция в виде
выражений, разрешенных относительно
начального базиса. Строку, в которую
вписаны коэффициенты целевой функции
,
называют
–строкой
или строкой целевой функции.
4.
Находят начальный опорный план, производя
симплексные преобразования с положительными
разрешающими элементами, отвечающими
минимальным симплексным отношениям, и
не принимая во внимание знаки элементов
–строки.
Если в ходе преобразований встретится
0-строка, все элементы которой, кроме
свободного члена, нули, то система
ограничительных уравнений задачи
несовместна. Если же встретится 0-строка,
в которой, кроме свободного члена, других
положительных элементов нет, то система
ограничительных уравнений не имеет
неотрицательных решений.
Приведение системы (2.55), (2.56) к новому базису будем называть симплексным преобразованием . Если симплексное преобразование рассматривать как формальную алгебраическую операцию, то можно заметить, что в результате этой операции происходит перераспределение ролей между двумя переменными, входящими в некоторую систему линейных функций: одна переменная из зависимых переходит в независимые, а другая наоборот – из независимых в зависимые. Такая операция известна в алгебре под названием шага жорданова исключения.
5. Найденный начальный опорный план исследуется на оптимальность:
а) если в
–строке
нет отрицательных элементов (не считая
свободного члена), то план оптимален.
Если при этом нет и нулевых, то
оптимальный план единственный; если же
есть хотя бы один нулевой, то оптимальных
планов бесконечное множество;
б) если в
–строке
есть хотя бы один отрицательный элемент,
которому соответствует столбец
неположительных элементов, то
;
в) если в
–строке
есть хотя бы один отрицательный элемент,
а в его столбце есть хотя бы один
положительный, то можно перейти к
новому опорному плану, более близкому
к оптимальному. Для этого указанный
столбец надо назначить разрешающим, по
минимальному симплексному отношению
найти разрешающую строку и выполнить
симплексное преобразование. Полученный
опорный план вновь исследовать на
оптимальность. Описанный процесс
повторяется до получения оптимального
плана либо до установления неразрешимости
задачи.
Столбец коэффициентов
при переменной, включаемой в базис,
называют разрешающим. Таким образом,
выбирая переменную, вводимую в базис
(или выбирая разрешающий столбец) по
отрицательному элементу
–строки,
мы обеспечиваем возрастание функции
.
Немного сложней определяется переменная, подлежащая исключению из базиса. Для этого составляют отношения свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (такие отношения называют симплексными) и находят среди них наименьшее, которое и определяет строку (разрешающую), содержащую исключаемую переменную. Выбор переменной, исключаемой из базиса (или выбор разрешающей строки), по минимальному симплексному отношению гарантирует, как уже установлено, положительность базисных компонент в новом опорном плане.
В пункте 3 алгоритма предполагается, что все элементы столбца свободных членов неотрицательны. Это требование не обязательно, но если оно выполнено, то все последующие симплексные преобразования производятся только с положительными разрешающими элементами, что удобно при расчетах. Если в столбце свободных членов есть отрицательные числа, то разрешающий элемент выбирают следующим образом:
1)
просматривают строку, отвечающую
какому-либо отрицательному свободному
члену, например
–строку,
и выбирают в ней какой-либо отрицательный
элемент, а соответствующий ему столбец
принимают за разрешающий (предполагаем,
что ограничения задачи совместны);
2) составляют отношения элементов столбца свободных членов к соответствующим элементам разрешающего столбца, имеющим одинаковые знаки (симплексные отношения);
3) из симплексных отношений выбирают наименьшее. Оно и определит разрешающую строку. Пусть ею будет, например, р –строка;
4)
на пересечении разрешающих столбца и
строки находят разрешающий элемент.
Если разрешающим оказался элемент
–строки,
то после симплексного преобразования
свободный член этой строки станет
положительным. В противном случае на
следующем шаге вновь обращаются к
–строке.
Если задача разрешима, то через
некоторое число шагов в столбце свободных
членов не останется отрицательных
элементов.
Если в форму ЗЛП облечена некоторая реальная производственная ситуация, то дополнительные переменные, которые приходится вводить в модель в процессе преобразования ее к канонической форме, всегда имеют определенный экономический смысл.
Если вам понадобится решить задачу линейного программирования с помощью симплекс-таблиц, то наш онлайн сервис вам окажет большую помощь. Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. На первом этапе находится какое-нибудь решение, которое улучшается на каждом последующем шаге. Такое решение называется базисным. Приведем последовательность действий при решении задачи линейного программирования симплекс-методом:
Первый шаг. В составленной таблице перво-наперво необходимо просмотреть столбец со свободными членами. Если в нем имеются отрицательные элементы, то необходимо осуществить переход ко второму шагу, есле же нет, то к пятому.
Второй шаг. На втором шаге необходимо определиться, какую переменную изключить из базиса, а какую включить, для того, что бы произвести перерасчет симплекс-таблицы. Для этого просматриваем столбец со свободными членами и находим в нем отрицательный элемент. Строка с отрицательным элементом будет называться ведущей. В ней находим максимальный по модулю отрицательный элемент, соответсвующий ему столбец - ведомый. Если же среди свободных членов есть отрицательные значения, а в соответсвующей строке нет, то такая таблица не будет иметь решений. Переменая в ведущей строке, находящаяся в столбце свободных членов исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис.
Таблица 1.
| базисные переменные | Свободные члены в ограничениях | Небазисные переменные | |||||
| x 1 | x 2 | ... | x l | ... | x n | ||
| x n+1 | b 1 | a 11 | a 12 | ... | a 1l | ... | a 1n |
| x n+2 | b 2 | a 21 | a 22 | ... | a 2l | ... | a 2n |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| x n+r | b2 | a r1 | a r2 | ... | a rl | ... | a rn |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| x n+m | b m | a m1 | a m2 | ... | a ml | ... | a mn |
| F(x) max | F 0 | -c 1 | -c 2 | ... | -c 1 | ... | -c n |
Третий шаг. На третьем шаге пересчитываем всю симплекс-таблицу по специальным формулам, эти формулы можно увидеть, воспользовавшись .
Четвертый шаг. Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то к пятому.
Пятый шаг. Если Вы дошли до пятого шага, значит нашли решение, которое допустимо. Однако, это не значит, что оно оптимально. Оптимальным оно будет только в том случае, если положительны все элементы в F-строке. Если же это не так, то необходимо улучшить решение, для чего находим для следующего перерасчета ведущие строку и столбец по следующему алгоритму. Первоначально, находим минимальное отрицательное число в строке F, исключая значение функции. Столбец с этим числом и будем ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они положительны. Минимальное отношение позволит определить ведущую строку. Вновь пересчитываем таблицу по формулам, т.е. переходим к шагу 3.
