Рассмотрим симплекс -метод
для решения задач линейного программирования (ЛП). Он основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает.
Алгоритм симплекс-метода следующий:
Рассмотрим решение задачи с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Дано:
Приводим задачу к каноническому виду:
Составляем вектора:
Заполняем симплекс – таблицу:
:
Пересчитаем первый элемент вектора Р 0
, для чего составляем прямоугольник из чисел: и получаем: .
Аналогичные расчеты выполним для всех остальных элементов симплекс – таблицы:
В полученном плане f – строка содержит один отрицательный элемент – (-5/3), вектора P 1 . Он содержит в своем столбце единственный положительный элемент, который и будет разрешающим элементом. Сделаем пересчет таблицы относительно этого элемента:
Отсутствие отрицательных элементов в f
– строке означает, что найден оптимальный план
:
F* = 36/5, Х = (12/5, 14/5, 8, 0, 0).
Заказать любые задания по этой дисциплине можно у нас на сайте. Прикрепить файлы и указать сроки можно на
- | x 1 | + | x 2 | - | S 1 | = | 1 | ||||||||||
x 1 | +3 | x 2 | + | S 2 | = | 15 | |||||||||||
- | 2 | x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 4 |
- | x 1 | + | x 2 | - | S 1 | + | R 1 | = | 1 | |||||||||||
x 1 | +3 | x 2 | + | S 2 | = | 15 | ||||||||||||||
- | 2 | x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 4 |
x 1 = 0 x 2 = 0 S 1 = 0 S 2 = 15 S 3 = 4 R 1 = 1 |
=> W = 1 |
x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | R 1 | св. член | Θ |
-1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1: 1 = 1 |
1 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 15 | 15: 3 = 5 |
-2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 4 | 4: 1 = 4 |
1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | W - 1 | |
-1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
4 | 0 | 3 | 1 | 0 | -3 | 12 | |
-1 | 0 | 1 | 0 | 1 | -1 | 3 | |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | W - 0 |
- | x 1 | + | x 2 | - | S 1 | = | 1 | ||||||||||
4 | x 1 | + | 3 | S 1 | + | S 2 | = | 12 | |||||||||
- | x 1 | + | S 1 | + | S 3 | = | 3 |
x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | св. член | Θ |
-1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
4 | 0 | 3 | 1 | 0 | 12 | 12: 4 = 3 |
-1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F - 1 | |
-1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
-1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F - 1 | |
0 | 1 | -1/4 | 1/4 | 0 | 4 | |
1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
0 | 0 | 7/4 | 1/4 | 1 | 6 | |
0 | 0 | -2 | -1 | 0 | F - 13 |
S 1 = 0 S 2 = 0 x 1 = 3 x 2 = 4 S 3 = 6 |
=> F - 13 = 0 => F = 13 |
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для решения задач линейного программирования P-методом в следующих формах записи: базовой форме записи симплекс-метода, в виде симплексной таблицы, модифицированным симплекс-методом.
Инструкция для решения задач двойственным симплекс-методом . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения двойственным симплекс-методом).
При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте.Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП
Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.
Объем товара Х (в партиях) | Доход G(X) | ||
1 | 2 | 3 | |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 28 | 30 | 32 |
2 | 41 | 42 | 45 |
3 | 50 | 55 | 48 |
4 | 62 | 64 | 60 |
5 | 76 | 76 | 72 |
В P-методе оптимальный план получается в результате движения по псевдопланам. Псевдоплан - план, в котором условия оптимальности удовлетворяются, а среди значений базисных переменных x i имеются отрицательные числа. Алгоритм двойственного симплекс-метода включает следующие этапы:
Пример
. Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А1 единиц, А2 единиц, А3 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах.
Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальны? Дана матрица затрат и ресурс времени каждой машины. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование P–метода.
Известно, что содержание n питательных веществ A, B и С в рационе должно быть не менее m1, m2, m3 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продукта приведено в таблице. определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.
Задание
: Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс-метода.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4x 1 + 2x 2 + x 3 при следующих условиях-ограничений.
- x 1 - x 2 ≤-10
2x 1 + x 2 - x 3 ≤8
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 . Во втором неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 5 .
-1x 1 -1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -10
2x 1 + 1x 2 -1x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 8
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A = |
|
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
Итерация №1
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
Ведущей будет первая строка, а переменную x 4 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x 2 необходимо ввести в базис.
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
θ | 0 | -4: (-1) = 4 | -2: (-1) = 2 | - | - | - |
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
-10: -1 | -1: -1 | -1: -1 | 0: -1 | 1: -1 | 0: -1 |
8-(-10 1):-1 | 2-(-1 1):-1 | 1-(-1 1):-1 | -1-(0 1):-1 | 0-(1 1):-1 | 1-(0 1):-1 |
0-(-10 -2):-1 | -4-(-1 -2):-1 | -2-(-1 -2):-1 | -1-(0 -2):-1 | 0-(1 -2):-1 | 0-(0 -2):-1 |
Итерация №2
1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет вторая строка, а переменную x 5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует третьему столбцу, т.е. переменную x 3 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1).
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
θ | 0 | - | - | -1: (-1) = 1 | - | - |
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
10-(-2 0):-1 | 1-(1 0):-1 | 1-(0 0):-1 | 0-(-1 0):-1 | -1-(1 0):-1 | 0-(1 0):-1 |
-2: -1 | 1: -1 | 0: -1 | -1: -1 | 1: -1 | 1: -1 |
20-(-2 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(0 -1):-1 | -1-(-1 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(1 -1):-1 |
Итерация №3
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется в течении 1 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 3 часа.
Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется в течении 2 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 1 час.
На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более чем 32 часа, оборудование второго типа – 60 часов, оборудование третьего типа – 50 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 4 денежные единицы, а изделия В – 2 денежные единицы.
Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
1) Составить математическую модель задачи
2) Решить графическим методом
3)Решить симплекс-методом путем преобразования симплекс-таблиц
Решение
Перед нами – классическая задача линейного программирования. Под планом производства понимается ответ на простой вопрос: сколько изделий А и сколько изделий В надо выпустить, чтобы прибыль была максимальна.
Прибыль рассчитывается по формуле: .
Запишем математическую модель задачи:
Чтобы проиллюстрировать применение симплекс-метода решения этой задачи, решим ее графически.
Для этого построим на плоскости области, описываемые ограничениями-неравенствами, и прямую , которая называется целевой функцией.
Три записанных выше неравенства ограничивают на плоскости многоугольник (построен красным цветом), ограниченный слева и снизу координатными осями (т.к. искомое количество изделий положительно).
График целевой функции (построен синим цветом) передвигается в направлении, обозначенном стрелкой (по-научному – в направлении своего градиента), до тех пор, пока не достигнет граничной точки многоугольника – в нашем случае это точка – (15 ; 5). В этой точке целевая функция будет достигать максимума.
А теперь решим эту задачу симплекс-методом. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, введя дополнительные переменные .
Симплекс-таблица составляется так:
В графе Базис записываются вектора переменных, принимаемые за базисные. На первом этапе это – A3, A4, A5. Базисными будут переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы, и нет такого уравнения, в которое не входила бы хотя бы одна из базисных переменных.
В следующий столбец записываются коэффициенты целевой функции, соответствующие каждой переменной. Столбец В –
столбец свободных членов. Далее идут столбцы коэффициентов Аi при i –й переменной.
Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.
Преобразование симплекс-таблицы ведется следующим образом:
Шаг 1: Проверяется критерий оптимальности, суть которого состоит в том, что все оценки должны быть неотрицательны. В нашем случае этот критерий не выполнен, поэтому переходим ко второму шагу.
Шаг 2: Для отрицательных оценок вычисляются величины:
Из этих элементов выбирается тот, для которого вычисленное произведение минимально, в нашем случае минимально, поэтому в качестве так называемого разрешающего элемента выбирается третий элемент первого столбца – 3 (выделен в таблице).
Шаг 3: Третья строка таблицы делится на 3 и вычитается из первой и второй строк. В сущности, применяется метод исключения неизвестных, известный как метод Жордана – Гаусса.
Таким образом, новыми базисными переменными становятся A3, A4, A1.
Возвращаемся к шагу 1 и повторяем весь процесс.
Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка
Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов .
Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.
Ответы, полученные различными методами, совпадают.
Пример 5.1. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс-методом:
Решение:
I итерация:
х3 , х4 , х5 , х6 х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные:
Приведем целевую функциюк следующему виду:
На основе полученной задачи сформируем исходную симплекс-таблицу:
Таблица 5.3
Исходная симплекс-таблица
Оценочные отношения |
||||
Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:
3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.
На данной итерации (в таблице 5.3) признак несовместности системы ограничений (признак 1) не выявлен (т.е. нет строки с отрицательным свободным числом (кроме строки целевой функции), в которой не было бы хотя бы одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной)).
На данной итерации (в таблице 5.3) признак неограниченности целевой функции (признак 2) не выявлен (т.е. нет колонки с отрицательным элементом в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел), в которой не было бы хотя бы одного положительного элемента).
Так как найденное базисное решение не содержит отрицательных компонент, то оно является допустимым.
6 этап: проверка оптимальности.
Найденное базисное решение не является оптимальным, так как согласно признаку оптимальности (признак 4) в строке целевой функции не должно быть отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, согласно алгоритму симплекс-метода переходим к 8 этапу.
Так как найденное базисное решение допустимое, то поиск разрешающей колонки будем производить по следующей схеме: определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.3, таких колонок две: колонка «х1 » и колонка «х2 ». Из таких колонок выбирается та, которая содержит наименьший элемент в строке целевой функции. Она и будет разрешающей. Колонка «х2 » содержит наименьший элемент (–3) в сравнении с колонкой «х1
Для определения разрешающей строки находим положительные оценочные отношения свободных чисел к элементам разрешающей колонки, строка, которой соответствует наименьшее положительное оценочное отношение, принимается в качестве разрешенной.
Таблица 5.4
Исходная симплекс-таблица
В таблице 5.4 наименьшее положительное оценочное отношение соответствует строке «х5 », следовательно, она будет разрешающей.
Элемент, расположенный на пересечение разрешающей колонки и разрешающей строки, принимается в качестве разрешающего. В нашем примере – это элемент , который расположен на пересечении строки «х5 » и колонки «х2 ».
Разрешающий элемент показывает одну базисную и одну свободную переменные, которые необходимо поменять местами в симплекс-таблице, для перехода к новому «улучшенному» базисному решению. В данном случае это переменные х5 и х2 , в новой симплекс-таблице (таблице 5.5) их меняем местами.
9.1. Преобразование разрешающего элемента.
Разрешающий элемент таблицы 5.4 преобразовывается следующим образом:
Полученный результат вписываем в аналогичную клетку таблицы 5.5.
9.2. Преобразование разрешающей строки.
Элементы разрешающей строки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей строки приведены в таблице 5.5.
9.3. Преобразование разрешающей колонки.
Элементы разрешающей колонки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, а результат берется с обратным знаком. Полученные результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей колонки приведены в таблице 5.5.
9.4. Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы.
Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы (т.е. элементов не расположенных в разрешающей строке и разрешающей колонке) осуществляется по правилу «прямоугольника».
К примеру, рассмотрим преобразование элемента, расположенного на пересечении строки «х3 » и колонки «», условно обозначим его «х3 ». В таблице 5.4 мысленно вычерчиваем прямоугольник, одна вершина которого располагается в клетке, значение которой преобразуем (т.е. в клетке «х3 »), а другая (диагональная вершина) – в клетке с разрешающим элементом. Две другие вершины (второй диагонали) определяются однозначно. Тогда преобразованное значение клетки «х3 » будет равно прежнему значению данной клетки минус дробь, в знаменателе которой разрешающий элемент (из таблицы 5.4), а в числителе произведение двух других неиспользованных вершин, т.е.:
«х3 »: .
Аналогично преобразуются значения других клеток:
«х3 х1 »: ;
«х4 »: ;
«х4 х1 »: ;
«х6 »: ;
«х6 х1 »: ;
«»: ;
«х1 »: .
В результате данных преобразований получили новую симплекс- таблицу (таблица 5.5).
II итерация:
1 этап: составление симплекс-таблицы.
Таблица 5.5
Симплекс-таблица II итерации
Оценочные отношения |
||||
2 этап: определение базисного решения.
В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.5):
Как видно, при данном базисном решении значение целевой функции =15, что больше чем при предыдущем базисном решении.
Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.5 не выявлена.
4 этап: проверка ограниченности целевой функции.
Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.5 не выявлена.
5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.5) содержится отрицательный элемент: –2 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.
8 этап: определение разрешающего элемента.
8.1. Определение разрешающей колонки.
Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.5, такой колонкой является только одна колонка: «х1 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.
8.2. Определение разрешающей строки.
Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.6, минимальным является отношение, соответствующее строке «х3 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.
Таблица 5.6
Симплекс-таблица II итерации
Оценочные отношения |
||||
3/1=3 – min |
||||
9 этап: преобразование симплекс-таблицы.
Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.6) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.7.
III итерация
По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:
Таблица 5.7
Симплекс-таблица III итерации
Оценочные отношения |
||||
2 этап: определение базисного решения.
В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.7):
3 этап: проверка совместности системы ограничений.
Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.7 не выявлена.
4 этап: проверка ограниченности целевой функции.
Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.7 не выявлена.
5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.
6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.7) содержится отрицательный элемент: –3 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.
8 этап: определение разрешающего элемента.
8.1. Определение разрешающей колонки.
Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.7, такой колонкой является только одна колонка: «х5 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.
8.2. Определение разрешающей строки.
Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.8, минимальным является отношение, соответствующее строке «х4 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.
Таблица 5.8
Симплекс-таблица III итерации
Оценочные отношения |
||||
5/5=1 – min |
||||
9 этап: преобразование симплекс-таблицы.
Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.8) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.9.
IV итерация
1 этап: построение новой симплекс-таблицы.
По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:
Таблица 5.9
Симплекс-таблица IV итерации
Оценочные отношения |
||||
–(–3/5)=3/5 | ||||
–(1/5)=–1/5 | ||||
–(9/5)=–9/5 | ||||
–(–3/5)=3/5 |
2 этап: определение базисного решения.
В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение, согласно таблице 5.9 решение следующее:
3 этап: проверка совместности системы ограничений.
Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.9 не выявлена.
4 этап: проверка ограниченности целевой функции.
Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.9 не выявлена.
5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.
6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.9) нет отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).
7 этап: проверка альтернативности решения.
Найденное решение является единственным, так как в строке целевой функции (таблица 5.9) нет нулевых элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).
Ответ: оптимальное значение целевой функции рассматриваемой задачи =24, которое достигается при.
Пример 5.2. Решить вышеприведенную задачу линейного программирования при условии, что целевая функция минимизируется:
Решение:
I итерация:
1 этап: формирование исходной симплекс-таблицы.
Исходная задача линейного программирования задана в стандартной форме. Приведем ее к каноническому виду путем введения в каждое из ограничений-неравенств дополнительной неотрицательной переменной, т.е.
В полученной системе уравнений примем в качестве разрешенных (базисных) переменные х3 , х4 , х5 , х6 , тогда свободными переменными будут х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные.