Законы Кирхгофа.
∑I=0
∑E=∑IR
Порядок расчета
Приведем пример.
Дано:
Е 1 =246 В;
Е 2 =230В
Найти:
I 1 ,I 2 ,I 3 .
Решение:
Итак, на схеме рисуем направления токов (1), согласно этим направлениям рисуем направления обхода контуров (2), согласно полярности источников питания ставим направления ЭДС (3).
Согласно первому закону Кирхгофа:
I 1 -I 2 -I 3 =0 → -I 2 =I 3 -I 1
Теперь составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3
Е 2 =-I 2 R 2 +I 3 R 3
Получили систему из трех уравнений. Решаем.
E 2 =(I 3 -I 1)R 2 +I 3 R 3
230=I 3 (1+R 3)-I 1 =25I 3 -I 1 → I 1 = 25I 3 -230
E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3 =(25I 3 -230)R 1 +I 3 R 3
246=0,3(25I 3 -230)+24I 3
246=7,5I 3 -69+24I 3
31,5I 3 =315
I 3 =10A
I 1 =25∙10-230=20A
I 2 =I 1 -I 3 =20-10=10A
2. Метод контурных токов
Этот метод основан на законе Кирхгофа
E 1 -E 2 =I 1 (R 1 +R 2)-I 2 R 2
E 2 =I 2 (R 2 +R 3)-I 1 R 2
246-230=I 1 (0,3+1)-I 2 → 16=1,3I 1 -I 2 → I 2 =1,3I 1 -16
230=25(1,3I 1 -16)-I 1
31,5I 1 =630
I 1 =20A
I 2 =1,3∙20-16=10A
3. Определяем истинные токи.
I 1 =I 1 =20A
I 2 =I 1 -I 2 =10A
I 3 =I 2 =10A
3. Метод двух узлов
Этот метод применим для схем, имеющих два узла
Q 1 =1/R 1 =1/0,3=3,33 Сим.
Q 2 =1/R 2 =1 Сим.
Q 3 =1/R 3 =1/24=0,0416 Сим.
U=∑E q /∑ ar q=(E 1 +E 2 q 2)/(q 1 +q 2 +q 3)=(246∙3,31+230)/4,3716=240 В
I=(E-U)q
I 1 =(E 1 -U)q 1 =(246-240)3,33=20A
I 2 =(E 2 -U)q 2 =230-240=-10A
I 3 =-Uq 3 =240∙0,0416=-10А
Так как, значения I 2 и I 3 получились отрицательными, то эти токи будут противоположными по направлению (на рисунке показаны жирные сплошные стрелки).
4. Метод наложения или метод суперпозиции
Метод основан на том, что любой ток в цепи создается совместным действием всех источников питания. Поэтому можно рассчитать частичные токи от действия каждого источника питания отдельно, а затем, найти истинные токи как арифметическую составляющую частичных.
Решение
1. Рис. 4. Е 2 =0; r 2 ≠0
R э =R 2 R 3 /(R 2 +R 3)+R 1 =24/25+0,3=0,96+0,3=1,26 Ом
I’ 1 =E 1 /R э =246/1,26=195,23 Ом
U ab =I’ 1 R 23 =195,23∙0,96=187,42 В
I’ 2 =U ab /R 2 =187,42 A
I’ 3 = U ab /R 3 =187,42/24=7,8 A
2. Рис. 5. E 1 =0; R 1 ≠0
R э =R 1 R 3 /(R 1 +R 3)+R 2 =0,3∙24/24,3+1=0,29+1=1,29 Ом
I” 2 =E 2 /R э =230/1,29=178,29 A
U ab =I” 2 R 13 =178,29∙0,29=51,7 В
I” 1 =U ab /R 1 =51,7/0,3=172,4 A
I” 3 =U ab /R 3 =51,7/24=2,15 A
3. Определяем истинные токи.
I 1 =I’ 1 -I” 1 =195,23-172,4=22,83 A
I 2 =I’ 2 -I” 2 =187,42-178,29=9,13 A
I 3 =I’ 3 -I” 3 =7,8-2,15=5,65 A
Является определение некоторых параметров на основе исходных данных, из условия задачи. На практике используют несколько методов расчёта простых цепей. Один из них базируется на применении эквивалентных преобразований, позволяющих упростить цепь.
Под эквивалентными преобразованиями в электрической цепи подразумевается замена одних элементов другими таким образом, чтобы электромагнитные процессы в ней не изменились, а схема упрощалась. Одним из видов таких преобразований является замена нескольких потребителей, включённых последовательно или параллельно, одним эквивалентным.
Несколько последовательно соединённых потребителей можно заменить одним, причём его эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений потребителей, . Для n потребителей можно записать:
rэ = r1 +r2+…+rn ,
где r1 , r2, ..., rn – сопротивления каждого из n потребителей.
При параллельном соединении n потребителей эквивалентная проводимость gэ равна сумме проводимостей отдельных элементов, включённых параллельно:
gэ= g1 + g2 +…+ gn .
Учитывая, что проводимость является обратной величиной по отношению к сопротивлению, можно эквивалентное сопротивление определить из выражения:
1/rэ = 1/r1 + 1/r2 +…+ 1/rn,
где r1, r2, ..., rn – сопротивления каждого из n потребителей, включённых параллельно.
В частном случае, когда параллельно включены два потребителя r1 и r2, эквивалентное сопротивление цепи:
rэ = (r1 х r2)/(r1 + r2)
Преобразования в сложных цепях, где отсутствует в явном виде элементов (рисунок 1), начинают с замены элементов, включённых в исходной схеме треугольником, на эквивалентные элементы, соединённые звездой.
Рисунок 1. Преобразование элементов цепи: а - соединённых треугольником, б - в эквивалентную звезду
На рисунке 1, а треугольник элементов образуют потребители r1, r2, r3. На рисунке 1, б этот треугольник заменён эквивалентными элементами ra, rb, rc, соединёнными звездой. Чтобы не происходило изменение потенциалов в точках a, b, с схемы, сопротивления эквивалентных потребителей определяются из выражений:
Упрощение исходной цепи можно также осуществить заменой элементов, соединённых звездой, схемой, в которой потребители .
В схеме, изображённой на рисунке 2, а, можно выделить звезду, образованную потребителями r1, r3, r4. Эти элементы включены между точками c, b, d. На рисунке 2, б между этими точками находятся эквивалентные потребители rbc, rcd, rbd, соединённые треугольником. Сопротивления эквивалентных потребителей определяются из выражений:
Рисунок 2. Преобразование элементов цепи: а - соединённых звездой, б - в эквивалентный треугольник
Дальнейшее упрощение схем, приведённых на рисунках 1, б и 2, б, можно осуществлять путём замены участков с последовательным и параллельным соединением элементов их эквивалентными потребителями.
При практической реализации метода расчёта простой цепи с помощью преобразований выявляются в цепи участки с параллельным и последовательным соединением потребителей, а затем рассчитываются эквивалентные сопротивления этих участков.
Если в исходной цепи в явном виде нет таких участков, то, применяя описанные ранее переходы от треугольника элементов к звезде или от звезды к треугольнику, проявляют их.
Данные операции позволяют упростить цепь. Применив их несколько раз, приходят к виду с одним источником и одним эквивалентным потребителем энергии. Далее, применяя , рассчитывают токи и напряжения на участках цепи.
Расчет сложных цепей постоянного тока
В ходе расчёта сложной цепи необходимо определить некоторые электрические параметры (в первую очередь токи и напряжения на элементах) на основе исходных величин, заданных в условии задачи. На практике используются несколько методов расчёта таких цепей.
Для определения токов ветвей можно использовать: метод, базирующийся на основании непосредственного применения , метод узловых напряжений.
Для проверки правильности вычисления токов необходимо составить . Из следует, что алгебраическая сумма мощностей всех источников питания цепи равна арифметической сумме мощностей всех потребителей.
Мощность источника питания равна произведению его ЭДС на величину тока, протекающего через данный источник. Если направление ЭДС и тока в источнике совпадают, то мощность получается положительной. В противном случае она отрицательна.
Мощность потребителя всегда положительна и равна произведению квадрата тока в потребителе на величину его сопротивления.
Математически баланс мощностей можно записать в следующем виде:
где n – количество источников питания в цепи; m – количество потребителей.
Если баланс мощностей соблюдается, то расчет токов выполнен правильно.
В процессе составления баланса мощностей можно выяснить, в каком режиме работает источник питания. Если его мощность положительна, то он отдает энергию во внешнюю цепь (например, как аккумулятор в режиме разряда). При отрицательном значении мощности источника последний потребляет энергию из цепи (аккумулятор в режиме заряда).
Решение любой задачи по расчету электрической цепи следует начинать с выбора метода, которым будут произведены вычисления. Как правило, одна и таже задача может быть решена несколькими методами. Результат в любом случае будет одинаковым, а сложность вычислений может существенно отличаться. Для корректного выбора метода расчета следует сначала определится к какому классу относится данная электрическая цепь: к простым электрическим цепям или к сложным.
К простым относят электрические цепи, которые содержат либо один источник электрической энергии, либо несколько находящихся в одной ветви электрической цепи. Ниже изображены две схемы простых электрических цепей. Первая схема содержит один источник напряжения, в таком случае электрическая цепь однозначно относится к простым цепям. Вторая содержит уже два источника, но они находятся в одной ветви, следовательно это также простая электрическая цепь.
Расчет простых электрических цепей обычно производят в такой последовательности:
Описанная методика применима для расчета любых простых электрических цепей, типовые примеры приведены в примере №4 и в примере №5. Иногда расчеты подобным методом могут оказатся довольно объемыми и длительными. Поэтому после нахождения решения будет нелишним провести проверку правильности ручных расчетов с применением специализированных программ или составлением баланса мощностей. Расчет простой электрической цепи в сочетании с составлением баланса мощностей приведен в примере №6.
Сложные электрические цепи
К сложным электрическим цепям
относят цепи, содержащие несколько источников электрической энергии, включенных в разные ветви. Ниже на рисунке изображены примеры таких цепей.
Для сложных электрических цепей неприменима методика расчета простых электрических цепей. Упрощение схем невозможно, т.к. нельзя выделить на схеме участок цепи с последовательным или параллельным соединением однотипных элементов. Иногда, преобразование схемы с ее последующим расчетом все-таки возможно, но это скорее исключение из общего правила.
Для полного расчета сложных электрических цепей обычно используют следующее методы:
Особенности применения каждого метода расчета сложных электрических цепей более подробно изложены в соответсвующих подразделах.
Постановка задачи: в известной схеме цепи с заданными параметрами необходимо рассчитать токи, напряжения, мощности на отдельных участках. Для этого можно использовать следующие методы:
преобразования цепи;
непосредственного применения законов Кирхгофа;
контурных токов;
узловых потенциалов;
наложения;
эквивалентного генератора.
Будем рассматривать первых два метода.
Метод преобразования цепи. Суть метода: если несколько последовательно или (и) параллельно включенных сопротивлений заменить одним, то распределение токов в электрической цепи не изменится.
а) Последовательное соединение резисторов. Сопротивления включены таким образом, что начало следующего сопротивления подключается к концу предыдущего (рис. 6).
Ток во всех последовательно соединенных элементах одинаков.
З
аменим
все последовательно соединенные
резисторы одним эквивалентным
(рис. 7.).
По IIзакону Кирхгофа:
т.е. при последовательном соединении резисторов эквивалентное сопротивление участка цепи равно сумме всех последовательно включенных сопротивлений.
б) Параллельное соединение резисторов. При этом соединении соединяются вместе одноименные зажимы резисторов (рис. 8).
В
се
элементы присоединяются к одной паре
узлов. Поэтому ко всем элементам приложено
одно и тоже напряжениеU
.
По Iзакону Кирхгофа:
.
По
закону Ома
.
Тогда
.
Для
эквивалентной схемы (см рис. 7):
;
.
Величина
,
обратная сопротивлению, называется
проводимостьюG
.
;
=
Сименс (См).
Ч
астный
случай: параллельно соединены два
резистора (рис. 9).
в) Взаимное преобразование звезды (рис.10а) и треугольник сопротивлений (рис. 10б).
Преобразование звезды сопротивлений в треугольник:
Преобразование "треугольника" сопротивлений в "звезду":
Метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Порядок расчета:
Примечание: если есть возможность, то перед составлением системы уравнений по законам Кирхгофа, следует преобразовать "треугольник" сопротивлений в соответствующую "звезду".
Расчет будем выполнять с применением законов Кирхгофа, предварительно преобразовав треугольник сопротивлений в звезду.
П
ример.
Определить токи в цепи рис. 11, еслиE
1
=
160
В,E
2
=100 В,R
3
=100 Ом,R
4
=100 Ом,R
5
=150 Ом,R
6
=40
Ом.
Преобразуем треугольник сопротивлений R 4 R 5 R 6 в звезду сопротивленийR 45 R 56 R 64 , предварительно указав условные положительные направления токов в цепи (рис. 12).
|
|
|
После преобразования электрическая цепь примет вид рис. 13 (в непреобразованной части электрической цепи направления токов не изменятся).
В
полученной электрической цепи 2 узла,
3 ветви, 2 независимых контура, следовательно,
в цепи протекает три тока (по количеству
ветвей) и необходимо составить систему
трех уравнений, из которых поIзакону Кирхгофа – одно уравнение (на 1
меньше, чем узлов в схеме электрической
цепи) и два уравнения – поIIзакону Кирхгофа:
Подставим в полученную систему уравнений известные значения ЭДС и сопротивлений:
Решая систему уравнений любым способом, определяем токи схемы электрической цепи рис. 13:
А;
А;
А.
Переходим к исходной схеме (см. рис. 11). По IIзакону Кирхгофа:
;
А.
По Iзакону Кирхгофа:
;
;
Т
оки
и
получились отрицательными, следовательно,
их действительное направление
противоположно выбранному нами (рис.
14).
Правильность решения проверяем, составив уравнение баланса мощности. Мощность источников (учтем, что ЭДС источника E 2 направленно встречно токуI 2 , протекающему через него):
Мощность потребителей:
Погрешность вычислений в пределах допустимого (меньше 5%).
Смоделируем электрическую цепь рис. 11 средствами моделирующего пакета ElectronicsWorkbench(рис. 15):
Р
ис.
15
При сравнении расчетных результатов и результатов моделирования, можно увидеть, что они отличаются (различия не превышают 5%), т.к. измерительные приборы имеют внутренние сопротивления, которые моделирующая система учитывает
Основы > Задачи и ответы > Постоянный электрический ток
Методы расчета цепей постоянного тока
Цепь состоит из
ветвей, имеет
узлов и
источников тока. Приводимые далее формулы пригодны для расчета цепей, содержащих и источники напряжения и источники тока. Они справедливы и для тех частных случаев: когда в цепи имеются только источники напряжения или только источники тока.
Применение законов Кирхгофа.
Обычно в цепи известны все источники ЭДС и источники токов и все сопротивления. В этом случае устанавливается число неизвестных токов, равное
. Для каждой ветви задаются положительным направлением тока.
Число У взаимонезависимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы. Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока. Общее число уравнений, составляемых по первому и по второму законам Кирхгофа, равно числу
неизвестных токов.
Примеры приведены в задачах раздела .
Метод контурных токов (Максвелла). Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа К, определяемого формулой (0.1.10). Он основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Из теории известно, что общее число контурных токов . Рекомендуется выбирать контурных токов так, чтобы каждый из них проходил через один источник тока (эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока и они обычно являются заданными условиями задачи), а оставшиеся контурных токов выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют К уравнений в таком виде:
где
- собственное сопротивление контура
n
(сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур
n
);
- общее сопротивление контуров
n
и
l
, причем
, если направления контурных токов в общей ветви для контуров
n
и
l
совпадают, то
положительно
, в противном случае
отрицательно
;
- алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующие контур
n;
- общее сопротивление ветви контура
n
с контуром, содержащим источник тока
.
Примеры приведены в задачах раздела .
Метод узловых напряжений. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа У, равного количеству узлов без одного
Сущность метода заключается в том, что вначале решением системы уравнений (0.1.13) определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома.
При составлении уравнений по методу узловых напряжений вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным). Для определения потенциалов оставшихся
узлов составляется следующая система уравнений:
Здесь
- сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s;
- сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q
;
- алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу
s
, на их проводимости; при этом со знаком « + » берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла s, и со знаком «-» - в направлении от узла s;
- алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу s; при этом со знаком « + » берутся те токи, которые направлены к узлу
s
, а со знаком « -» - в направлении от узла s.
Методом узловых напряжений рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.
Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками ЭДС, то число У уравнений, составляемых по методу узловых напряжений, уменьшается:
где
- число ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС.
Примеры приведены в задачах раздела .
Частный случай-двухузловая схема. Для схем, имеющих два узла (для определенности узлы а и
b
), узловое напряжение
где - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу а, и отрицательными, если от узла а к узлу b ) на проводимости этих ветвей; - токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу а, и отрицательны, если направлены от узла а к узлу b ) ; - сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы а и b .
Принцип наложения. Если в электрической цепи заданными значениями являются ЭДС источников и токи источников тока, то расчет токов на основании принципа наложения состоит в следующем. Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней ЭДС каждого источника ЭДС отдельно и током, проходящим по этой же ветви от действия каждого источника тока. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником ЭДС или тока, то остальные источники ЭДС в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока остальных источников отключаются (ветви с источниками тока размыкаются).
Эквивалентные преобразования схем.
Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.
Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током (например, сопротивления
соединены последовательно (см. рис. 0.1,3), также последовательны сопротивления
).
n
последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений
При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям
В частном случае двух последовательно соединенных сопротивлений
где
U
- общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления
(см. рис. 0.1.3).
Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены параллельно, если вес они присоединены к одной парс узлов, например, сопротивления
(см. рис. 0.1.3).
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из
n
параллельно соединенных сопротивлений (рис. 0.1.4),
В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений эквивалентное сопротивление
При параллельном соединении n сопротивлений (рис. 0.1.4, а) токи в них распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям или прямо пропорционально их проводимостям
Ток в каждой из них вычисляется через ток I в неразветвленной части цепи
В частном случае двух параллельных ветвей (рис. 0.1.4, б)
Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешанное соединение это сочетание последовательного и параллельного соединений сопротивлений. Например, сопротивления (рис. 0.1.4, б) соединены смешанно. Их эквивалентное сопротивление
Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 0.1.5, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 0.1.5, б), и наоборот, имеют такой вид:
Метод эквивалентного источника
(метол активного двухполюсника, или метод холостого хода и короткого замыкания). Применение метода целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Рассмотрим два варианта: а) метод эквивалентного источника ЭДС и б) метод эквивалентного источника тока.
При методе эквивалентного источника ЭДС
для нахождения тока
I
в произвольной ветви ab, сопротивление которой R (рис. 0.1.6, а
,
буква А означает активный двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (рис. 0.1.6,
б), а часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным источником с ЭДС
и внутренним сопротивлением
(рис. 0.1.6, в).
ЭДС
этого источника равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжение холостого хода):
Расчет схем в режиме холостого хода (см. рис. 0.1.6, б) для определения
проводится любым известным методом.
Внутреннее сопротивление
эквивалентного источника ЭДС равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов а и b исходной схемы, из которой исключены все источники [источники ЭДС заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены (рис. 0.1.6, г); буква П указывает на пассивный характер цепи], при разомкнутой ветви ab. Сопротивление можно вычислить непосредственно по схеме рис. 0.1.6, г.
Ток в искомой ветви схемы (рис. 0.1.6, д), имеющей сопротивление R, определяют по закону Ома:
